1 . AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为，，.
(1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率；
(2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束.
①求获得“优惠券”的概率；
②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值.

2 . 已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知数列满足，且，其前项和记为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和记为，求证：.

4 . 在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求展开式中项的系数；
(2)求被7除的余数.

5 . 某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
(1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；
(2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？

6 . 如图所示，在半径为1的球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥.设二面角的平面角的大小为.

(1)求该内接八面体体积的最大值；
(2)求的取值范围.

7 . 四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点．

(1)求证：上存在一点，使得与总垂直；
(2)当平面时，求的值；
(3)当时，求平面与平面所成角的大小．

8 . 如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构成一个数列

(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，数列满足，求数列的前项和

9 . 英国物理学家、数学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如下左图，具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．

(1)设函数，初始点，若按上述算法，求出的一个近似值（精确到0.1）；
(2)如上右图，设函数，初始点为，若按上述算法，求所得前个三角形的面积之和；
(3)用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤如下：①证明当（初始值）时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”．完成这两个步骤就可以证明命题对从开始的所有正整数都成立．设函数，按上述牛顿法进行操作，且；
证明：①对任意的，均有；
②为递增数列．

10 . 一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点．

(1)求轨迹的方程及动点的轨迹方程；
(2)直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．