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解题方法
1 . 柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在
上是一条连续不断的曲线；
②在
内可导;
③对
，
，则
，使得
.
特别的，取
，则有：，使得
，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数
满足
，其导函数
在
上单调递增，证明：函数
在
上为增函数.
(2)若
且
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
①图象在
上是一条连续不断的曲线；②在
内可导;③对
，，则，使得.特别的，取
，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数
满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.(2)若
且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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解题方法
2 . 设双曲线
的左、右顶点分别为
，
，左、右焦点分别为
，
，
，且
的渐近线方程为
，直线
交双曲线于
，
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点
时，求
的取值范围.
的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.(1)求双曲线
的方程；(2)当直线
过点时，求的取值范围.
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解题方法
3 . 甲和乙两个箱子中各装有
个大小、质地均相同的小球，并且各箱中
是红球，
是白球.
(1)当
时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率.
(2)由概率学知识可知，当总量足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作
；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作
.
①求，.
②当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即
）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：
）.
个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球.(1)当
时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率.(2)由概率学知识可知，当总量
足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作.①求
，.②当
至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：）.
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4 . 已知函数
.
(1)讨论的单调性；
(2)当
时，
，数列
满足
，且
①比较
，
，1的大小
②证明：
.
.(1)讨论
的单调性；(2)当
时，，数列满足，且①比较
，，1的大小②证明：
.
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5 . 参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程，是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式．很多曲线（如心脏线、螺线、玫瑰线）都可以用参数方程呈现．在平面直角坐标系
中，直线的参数方程式
（
为参数），其中
，角
为直线的倾斜角．曲线
的参数方程是
（
为参数）．其中
，直线与曲线相交于
、点．
(1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程；
(2)设点
，设点对应的参数为
，试证明：
；
(3)试问是否存在角，使得对于任意的点，表达式
均为定值，若存在，请求出
及值（结果用
，
表示）；若不存在，请说明理由．
中，直线的参数方程式（为参数），其中，角为直线的倾斜角．曲线的参数方程是（为参数）．其中，直线与曲线相交于、点．(1)根据以上的参数方程求出直线
的一般式方程和曲线的标准方程；(2)设点
，设点对应的参数为，试证明：；(3)试问是否存在角
，使得对于任意的点，表达式均为定值，若存在，请求出及值（结果用，表示）；若不存在，请说明理由．
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6 . 如图，在几何体
中，底面
为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面
平面
，平面平面
，
平面，
，
，为垂足，
，
为垂足.
平面；
(2)若
，设为棱
的中点，求当几何体的体积取最大值时，
与
所成角的正切值.
中，底面为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面，平面，，，为垂足，，为垂足.
平面；(2)若
，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的正切值.
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7 . 已知椭圆
的左右顶点分别为
，点是椭圆
上任意一点，点和
关于
轴对称，设直线
和
交点为
(1)求点的轨迹
的方程；
(2)若
为曲线的右焦点，过的直线与交，两点，在第二象限，
（i）以
为直径的圆是否经过点
，若是，请说明理由；
（ii）设为直径的圆与曲线在第一象限交点为，证明点是
的内心.
的左右顶点分别为，点是椭圆上任意一点，点和关于轴对称，设直线和交点为(1)求点
的轨迹的方程；(2)若
为曲线的右焦点，过的直线与交，两点，在第二象限，（i）以
为直径的圆是否经过点，若是，请说明理由；（ii）设
为直径的圆与曲线在第一象限交点为，证明点是的内心.
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解题方法
8 . 记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)若成等差数列，求的面积；
(2)若
，求.
的内角的对边分别为，已知.(1)若
成等差数列，求的面积；(2)若
，求.
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2024-06-12更新
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711次组卷
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3卷引用：湖北省襄阳市第五中学2024届高三第五次适应性测试数学试题
2024高一下·全国·专题练习
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解题方法
9 . 如图，将边长为
的正方形
沿对角线
折起使得点
到点
的位置，连接
，
为的中点.
平面，求点到平面
的距离；
(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角
的余弦值为
，求的长度.
的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.
平面，求点到平面的距离；(2)不考虑点
与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
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2024-05-08更新
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1268次组卷
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5卷引用：湖北省襄阳市第五中学2024届高三第五次适应性测试数学试题
湖北省襄阳市第五中学2024届高三第五次适应性测试数学试题（已下线）8.6.3平面与平面垂直【第三课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路（已下线）专题13.7空间中的距离和夹角问题-重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）（已下线）第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 （2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）四川省内江市第三中学2024届高三第一次适应性考试数学（理科）试卷
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解题方法
10 . 已知数列
的前n项和为
．若对每一个
，有且仅有一个
，使得
，则称为“X数列”.记
，，称数列
为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，
，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：
．
的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若
的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列
为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
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2024-05-07更新
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1478次组卷
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4卷引用：湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题
湖北省襄阳市第五中学2024届高三下学期第四次适应性测试数学试题江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题（已下线）专题14 学科素养与综合问题（解答题19）黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024届高三下学期第四次模拟数学试卷
