1 . 如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)在这条抛物线的图像上是否存在一点，使的面积等于6，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为，点G为x轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点P的坐标；

3 . 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．
①求的最大值；
②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；

6 . 如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．

7 . 如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________．

8 . 如图所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B．
   
(1)求该函数的表达式及顶点坐标；
(2)将该二次函数图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为图象W，点Q在图象W上，连接QA，QB，求面积的最大值；
(3)点P（m，n）在该二次函数图象上，当时，该二次函数有最大值2，请根据图象求出m的值；

9 . 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），且点为，与轴交于点，直线经过，两点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，．
   
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线的解析式记为，当时，直接写出的取值范围；
(3)设点的横坐标为，四边形的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标．

10 . 如图，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一个动点．
   
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求面积的最大值；
(3)将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得抛物线的解析式．