1 . 某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．

素材1	利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2	如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．

【尝试解决问题】
任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．

2 . 如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米，

(1)分别用含x的代数式表示与S；
(2)若，求x的值；
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？

3 . 如图，矩形的边在的边上，顶点D、G分别在边上、已知，，设，．

(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)连接，当为等腰三角形时，求y的值．

6 . 如图，正方形纸片 中，，翻折，，使两个直角的顶点重合于对角线 上一点，，为折痕．设，则下面四个结论正确的是(       )
   

A．当时，点 是正方形的中心

B．

C．当时，六边形 面积的最大值为

D．当时，六边形周长的值不变

7 . 如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为_____．

8 . 【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙（两边足够长），墙角内的处有一棵古树与墙、的距离分别是15米和6米，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设米．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
   
(1)请用含有x的代数式表示的长：            ；
(2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大，最大面积为多少？

9 . 如图，矩形花圃一面靠墙，已知墙长18米，另外三面用总长度是32米的篱笆围成，设垂直于墙的一边为x米．

(1)当矩形花圃的面积是时，求x的值；
(2)若平行于墙的一边不小于8米，矩形花圃的面积记为S，求出x的取值范围及S的最大值与最小值．

10 . 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．

(1)花圃的面积为___________平方米（用含a的式子表示）；
(2)如果花所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积x（）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？