1 . 如图，在菱形中，，交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若菱形的边长为，，求的长．

2 . 如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

   

(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

3 . 如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．

(1)求证：；
(2)当时，求的长．

4 . 如图所示，在正方形中，G为边中点，连接并延长交边的延长线于E点，对角线交于F点．
   
(1)直接写出一个与相似的三角形：                ；
(2)求证：；
(3)若，求线段的长度．

5 . 如图，是的外接圆，，点是上一动点不与点，重合，连接，，，延长至点，连接，．

(1)求证：．
(2)若是的切线，则四边形的形状是______．
(3)连接，，若，四边形是菱形，求的半径长．

6 . 如图，已知直线l及直线l外一点P，按照如下步骤进行尺规作图：
①在直线l上取一点A，连接；
②分别以P、A为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于M、N两点，作直线，交直线l于点B；
③以O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q，作直线．
   
根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：
(1)下列结论不一定成立的是（            ）
A．垂直平分       B．M是的中点       C．
(2)若，求的长．

7 . 如图，已知是的直径，与相切于点，的弦，连接交于点，延长与交于点，连接．
   
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的值．

8 . 如图，在中，，于点E，，平分交于点F，的延长线交于点G，试问：
   
(1)与有何位置关系？请说明理由．
(2)与有何数量关系？请证明你的结论．

9 . 【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
   
【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．

10 . 如图，在中，，以AB为直径作，与交于点D，BC与交于点，过点作，且，连接，，①的长为______；②______．