1 . 已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)已知实数
.
①求证：函数
有且仅有一个零点；
②设该零点为
，若图象上有且只有一对点
，
关于点
成中心对称，求实数
的取值范围.
，.(1)当
时，求函数的极值；(2)已知实数
.①求证：函数
有且仅有一个零点；②设该零点为
，若图象上有且只有一对点，关于点成中心对称，求实数的取值范围.
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解题方法
2 . 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点
与两定点
的距离之比
且
是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线
上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为
，定点分别为椭圆
的上顶点与右顶点，且椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点
，过点
斜率分别为
的直线与椭圆的另一个交点分别为
，且满足
，试探究
面积是否存在最大值，若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆
的标准方程；(2)已知点
，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
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3 . 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为
.
(1)试求
，
的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示
（
），并探究
与
和
的关系；
(3)设数列
的通项公式为
（
），求该数列的前m项的和
.
.(1)试求
，的值；(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示
（），并探究与和的关系；(3)设数列
的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
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4 . 在
中，若
，则
的取值范围为（ ）
中，若，则的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
解题方法
5 . 已知函数
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)设函数有两个极值点
，且
，若
恒成立，求
最小值．
(1)当
时，求函数的极值；(2)设函数
有两个极值点，且，若恒成立，求最小值．
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2024-05-15更新
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492次组卷
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2卷引用：江西省新八校2024届高三第二次联考数学试题
名校
解题方法
6 . 给出以下三个材料：
①若函数的导数为
，的导数叫做的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作
，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即
，
；
②若
，定义
；③若函数在包含的某个开区间
上具有n阶的导数，那么对于
有
，我们将称为函数在点
处的n阶泰勒展开式.例如，
在点
处的n阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若
，
在点处的3阶泰勒展开式分别为
，
，求出，；
(2)比较（1）中
与的大小；
(3)证明：
.
①若函数
的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，；②若
，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)若
，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；(2)比较（1）中
与的大小；(3)证明：
.
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名校
解题方法
7 . 已知
，
，M是圆O：
上任意一点，
关于点M的对称点为N，线段
的垂直平分线与直线
相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设
（
）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；
(2)设
（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
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2024-05-14更新
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577次组卷
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3卷引用：江西省重点中学盟校2024届高三第二次联考数学试题
名校
解题方法
8 . 不经过第四象限的直线
与函数
的图象从左往右依次交于三个不同的点，
，
，且
，
，成等差数列，则
的最小值为______ .
与函数的图象从左往右依次交于三个不同的点，，，且，，成等差数列，则的最小值为
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2024-05-14更新
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216次组卷
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2卷引用：江西省景德镇市2024届高三第三次质检数学试题
9 . 已知T是
上的动点（A点是圆心），定点
，线段TB的中垂线交直线TA于点P.
(1)求P点轨迹
的方程；
(2)已知直线的方程
，过点B的直线（不与
轴重合）与曲线相交于M，N两点，过点M作
，垂足为 
①求证：直线ND过定点
，并求出定点的坐标；
②点
为坐标原点，求
面积的最大值.
上的动点（A点是圆心），定点，线段TB的中垂线交直线TA于点P.(1)求P点轨迹
的方程；(2)已知直线
的方程，过点B的直线（不与轴重合）与曲线相交于M，N两点，过点M作，垂足为 ①求证：直线ND过定点
，并求出定点的坐标；②点
为坐标原点，求面积的最大值.
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名校
10 . 已知体积相等的两个圆锥的半径分别为
，表面积分别为
，若
，则
的取值范围为（ ）
，表面积分别为，若，则的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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