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解题方法
1 . 对给定的实数a,b,q,其中,.如果函数,:满足(1)对任意的,且;(2)对任意的,.则称为在区间上的一个“q-压缩函数”.区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作.
(1)判断下列函数,是否属于集合?(直接写出结论)
①②③
(2)设,若求实数a的取值范围.
(3)设.若对任意的,,均有,求M的最小值,并说明理由.
(1)判断下列函数,是否属于集合?(直接写出结论)
①②③
(2)设,若求实数a的取值范围.
(3)设.若对任意的,,均有,求M的最小值,并说明理由.
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2 . 关于函数的性质,其中正确结论个数为:( )
①等式对恒成立;
②函数的值域为;
③若,则一定有;
④函数在上有三个零点;
⑤存在无数个,满足.
①等式对恒成立;
②函数的值域为;
③若,则一定有;
④函数在上有三个零点;
⑤存在无数个,满足.
A.2 | B.3 | C.4 | D.5 |
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3 . 已知,,对任意的都有,则的取值范围是_______
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4 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇,衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若是的导函数,是的导函数,则曲线在点处的曲率.(1)求曲线在处的曲率的平方;
(2)求余弦曲线曲率的最大值;
(3)余弦曲线,若,判断在区间上零点的个数,并写出证明过程.
(2)求余弦曲线曲率的最大值;
(3)余弦曲线,若,判断在区间上零点的个数,并写出证明过程.
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5 . 已知关于 的不等式 (其中 )的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是_________
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6 . 已知菱形的边长为2,.将沿着对角线折起至,连结.设二面角的大小为,则下列说法正确的是( )
A.若四面体为正四面体,则 |
B.四面体的体积最大值为1 |
C.四面体的表面积最大值为8 |
D.当时,四面体的外接球的半径为 |
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解题方法
7 . 已知双曲线的离心率为,半焦距为,为的左顶点,直线.
(1)求的方程.
(2)若l过定点,且交于,两点(异于点),证明:直线与的斜率之积为定值.
(3)若与有唯一的公共点,过点且与垂直的直线分别与轴,轴相交于,两点,当点运动时,求点的轨迹方程.
(1)求的方程.
(2)若l过定点,且交于,两点(异于点),证明:直线与的斜率之积为定值.
(3)若与有唯一的公共点,过点且与垂直的直线分别与轴,轴相交于,两点,当点运动时,求点的轨迹方程.
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8 . “三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆跑车,选中后面有车的那扇门可赢得该跑车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是:换另一扇门,是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件,那么答案是______ (填“会”或者“不会”).换门的话,赢得跑车的概率是______ .
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9 . 设定义在上的函数与,若,,且为奇函数,设的导函数为,则下列说法中一定正确的是( )
A.是奇函数 | B.函数的图象关于点对称 |
C. | D.点(其中)是函数的对称中心 |
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10 . 已知,函数.
(1)函数的图象经过点,且关于的不等式的解集为,求的解析式;
(2)若有两个零点,,且的最小值为,当时,判断函数在上的单调性,并说明理由;
(3)设,记为集合中元素的最大者与最小者之差,若对,恒成立,求实数的取值范围.
(1)函数的图象经过点,且关于的不等式的解集为,求的解析式;
(2)若有两个零点,,且的最小值为,当时,判断函数在上的单调性,并说明理由;
(3)设,记为集合中元素的最大者与最小者之差,若对,恒成立,求实数的取值范围.
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