1 . 已知双曲线过点,且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于,两点.问:在轴上是否存在定点,使直线的斜率与的斜率的积为定值?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于,两点.问:在轴上是否存在定点,使直线的斜率与的斜率的积为定值?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.
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2 . 已知函数.若过点可以作曲线三条切线,则的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
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3 . 如图,已知椭圆()的左,右顶点分别为,,椭圆的长轴长为4,椭圆上的点到焦点的最大距离为,为坐标原点.(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线,与椭圆分别交于点,,其中,证明:直线过定点,并求出定点坐标;
(2)设过点的直线,与椭圆分别交于点,,其中,证明:直线过定点,并求出定点坐标;
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4 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.注:阶导数指对一个函数进行次求导,表示的2阶导数,即为的导数,表示的阶导数,为自然对数的底数,,该公式也称麦克劳林公式.设,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题:
(1)利用泰勒公式求的近似值;(精确到小数点后两位)
(2)设,证明:;
(3)证明:(为奇数).
(1)利用泰勒公式求的近似值;(精确到小数点后两位)
(2)设,证明:;
(3)证明:(为奇数).
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5 . 如果数列满足:且,则称数列为阶“归化数列”.若数列还满足:数列项数有限为;则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若某6阶“归化数列”是等比数列,写出该数列的各项;
(2)若某13阶“归化数列”是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”,且存在,使得,探究:数列能否为“阶可控摇摆数列”,若能,请给出证明过程;若不能,请说明理由.
(1)若某6阶“归化数列”是等比数列,写出该数列的各项;
(2)若某13阶“归化数列”是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”,且存在,使得,探究:数列能否为“阶可控摇摆数列”,若能,请给出证明过程;若不能,请说明理由.
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6 . 已知函数(,),且曲线在点处的切线经过点.
(1)求;
(2)求的单调区间;
(3)若,,证明:.
(1)求;
(2)求的单调区间;
(3)若,,证明:.
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2024-05-25更新
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196次组卷
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2卷引用:湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
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7 . 已知是正项数列,其前项的和为,且满足表示不超过的最大整数,若恒成立,则的取值范围为_________ .
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8 . 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型,在生活中被广泛应用.现在我们来研究二项分布的简单性质,若随机变量.
(1)证明:(ⅰ)(,且),其中为组合数;
(ⅱ)随机变量的数学期望;
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出一个球且不放回,直到摸到黑球为止,记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球,若将上述试验重复进行10次,记随机变量表示事件A发生的次数,试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系.
(1)证明:(ⅰ)(,且),其中为组合数;
(ⅱ)随机变量的数学期望;
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出一个球且不放回,直到摸到黑球为止,记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球,若将上述试验重复进行10次,记随机变量表示事件A发生的次数,试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系.
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9 . 如图,点在圆上运动且满足轴,垂足为点,点在线段上,且,动点的轨迹为.(1)求曲线的方程;
(2)已知,过的动直线交曲线于两点(点在轴上方)分别为直线与轴的交点,是否存在实数使得?说明理由.
(2)已知,过的动直线交曲线于两点(点在轴上方)分别为直线与轴的交点,是否存在实数使得?说明理由.
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10 . 已知,过点可作曲线的两条切线,切点为,.求的取值范围( )
A. | B. | C. | D. |
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