名校
1 . 已知函数
，
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
存在两个极值点，求实数
的取值范围．
，(1)讨论
的单调性；(2)若函数
存在两个极值点，求实数的取值范围．
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2024-05-29更新
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1034次组卷
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2卷引用：山西省晋中市2024届高三下学期5月高考适应训练考试数学试卷
名校
解题方法
2 . 在平面直角坐标系
中，已知点
为动点，以线段
为直径的圆与
轴相切．
(1)求动点
的轨迹
的方程．
(2)已知点
问：在上是否存在点
使得
为等边三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请说明这样的点
有几组（不必说明点的坐标）．
中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．(1)求动点
的轨迹的方程．(2)已知点
问：在上是否存在点使得为等边三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请说明这样的点有几组（不必说明点的坐标）．
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2024-05-23更新
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357次组卷
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2卷引用：山西省晋中市2024届高三下学期5月高考适应训练考试数学试卷
解题方法
3 . 如图，在六面体
中，
，
，且
，
平行于平面
，
平行于平面
，
.
平面；
(2)若点
到直线
的距离为
，
为棱
的中点，求平面
与平面夹角的余弦值．
中，，，且，平行于平面，平行于平面，.
平面；(2)若点
到直线的距离为，为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
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4 . 甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为
当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为
的概率为
（i）证明：
为等比数列．
（ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由
当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为
的概率为（i）证明：
为等比数列．（ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由
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解题方法
5 . 在中，角
的对边分别为
，已知
.
；
(2)若
，在边
上（不含端点）存在点
，使得
，求的取值范围．
中，角的对边分别为，已知.
；(2)若
，在边上（不含端点）存在点，使得，求的取值范围．
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解题方法
6 . 如图1，在等边三角形
中，
，点
分别是
的中点.如图2，以
为折痕将
折起，使点A到达点
的位置（
平面
），连接
.
平面
；
(2)当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值.
中，，点分别是的中点.如图2，以为折痕将折起，使点A到达点的位置（平面），连接.
平面；(2)当
时，求直线与平面所成角的正弦值.
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7 . 伴随着网络购物的深入普及，购物形式日渐多样化，打破了传统购物的局限性．有研究表明，网络购物与人的年龄存在一定的关系．某调研机构随机抽取50人近三天的网络购物情况，得到了如下统计表：
(1)若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成网络购物
列联表，并判断是否有
的把握认为“使用网络购物”与人的年龄有关；
(2)若从年龄在
，
内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用网络购物”的人数为
．
①求随机变量的分布列；
②求随机变量的数学期望．
参考数据：
参考公式：
，其中
．
年龄/岁 |
|
|
|
|
|
|
人数 | 10 | 10 | 10 | 10 | 5 | 5 |
使用网购人数 | 8 | 10 | 7 | 7 | 2 | 1 |
列联表，并判断是否有的把握认为“使用网络购物”与人的年龄有关；年龄不低于55岁 | 年龄低于55岁 | 合计 | |
使用 | |||
不使用 | |||
合计 |
，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用网络购物”的人数为．①求随机变量
的分布列；②求随机变量
的数学期望．参考数据：
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中．
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8 . 若定义在
上的函数
满足对任意实数
恒成立，则我们称为“类余弦型”函数.
(1)已知为“类余弦型”函数，且
，求
和
的值；
(2)在（1）的条件下，定义
，求
的值；
(3)若为“类余弦型”函数，且对任意非零实数
，总有
，求证：函数为偶函数.设有理数
满足
，判断
和
的大小关系，并证明你的结论.
上的函数满足对任意实数恒成立，则我们称为“类余弦型”函数.(1)已知
为“类余弦型”函数，且，求和的值；(2)在（1）的条件下，定义
，求的值；(3)若
为“类余弦型”函数，且对任意非零实数，总有，求证：函数为偶函数.设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.
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9 . 已知函数
，其中
为自然对数的底数.
(1)若
对任意的
恒成立，求实数的取值范围；
(2)设
的导数为
，若
，求证：关于
的方程
在区间
上有实数解.
，其中为自然对数的底数.(1)若
对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)设
的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解.
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解题方法
10 . 已知数列
的前项和为
，
，且当
时，
，
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设数列
满足
，求
的值.
的前项和为，，且当时，，(1)证明：数列
是等差数列；(2)设数列
满足，求的值.
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