解题方法
1 . 无穷符号
在数学中是一个重要的符号,该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利,某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源,设计了如图所示的活动标志,该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成,球心距
,则该标志的体积为___________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/20/5e26367a-a620-4fb0-b75b-c186889a9739.png?resizew=262)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/21/838aed29-9e5d-4f5e-8854-50403432ba40.png?resizew=190)
附:一个半径为
的球被平面截下的一部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高(记为
),球缺的体积公式为
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/229e67dd9fe978e48c221b0b9dc57f1c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d24bb00375b8b39c8f61a22ab7bde855.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/20/5e26367a-a620-4fb0-b75b-c186889a9739.png?resizew=262)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/21/838aed29-9e5d-4f5e-8854-50403432ba40.png?resizew=190)
附:一个半径为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73465a1f9aa03481295bf6bd3c6903ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3411e2943702e5f2465d10815b3a7df2.png)
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2022-04-12更新
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1217次组卷
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6卷引用:第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点1 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题(一)【培优版】
(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点1 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题(一)【培优版】重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题(已下线)押全国卷(文科)第8,16题 立体几何小题-备战2022年高考数学(文)临考题号押题(全国卷)(已下线)押全国卷(理科)第8,16题 立体几何小题-备战2022年高考数学(理)临考题号押题(全国卷)(已下线)考向29空间几何体的外接球和内切球问题(重点)(已下线)专题24 空间几何体的表面积与体积-2
名校
解题方法
2 .
,
,
,
四点均在同一球面上,
,
是边长为
的等边三角形,则
面积的最大值为__________ ,四面体
体积最大时球的表面积为___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f86c589939053ce21ce0a67cf40054a9.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
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2022-04-11更新
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1964次组卷
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3卷引用:江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题
名校
3 . 如图,多面体
中,面
为正方形,
平面
,
,且
,
,
为棱
的中点,
为棱
上的动点,有下列结论:
为棱
的中点时,
平面
;
②存在点
,使得
;
③三棱锥
的体积为定值;
④三棱锥
的外接球表面积为
.
其中正确的结论序号为______ .(填写所有正确结论的序号)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9165d9bfbb0f0d19eb482c2a4c1b29b7.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e6e490f703eb6c9bb1278c78ebc2d661.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c09afc70f448545336304333d5b5658b.png)
②存在点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73465a1f9aa03481295bf6bd3c6903ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d3f8b5c2dba20d42a8c551cd75a38fe.png)
③三棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93240c1473e10c736cc33b65053de761.png)
④三棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f26712d1a7a5864cd18498f16f7bd96c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f7ae3e6e1924f2f92529860e905c9d32.png)
其中正确的结论序号为
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2022-04-09更新
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1917次组卷
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8卷引用:专题01 空间向量与立体几何(4)
(已下线)专题01 空间向量与立体几何(4)东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学(文科)试题(已下线)查补易混易错点06 立体几何-【查漏补缺】2022年高考数学(文)三轮冲刺过关新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学第2021-2022 学年高一下学期期中考试数学试题(问卷)山西省山西大学附属中学校2022届高三三模(总第七次模块)文科数学试题第一章 空间向量与立体几何章末检测(基础篇)广东省江门市新会陈经纶中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题贵州省凯里实验高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题
名校
解题方法
4 . 在长方体
中,
,
,
,则长方体外接球的表面积为__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/305a88d4e0249bd16d48eda01331d2d4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ffc2817fa590affb5a760a25dc65308.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2cc416a5b8dc234628e7475387888d82.png)
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2022-04-09更新
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1751次组卷
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7卷引用:专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 (14大核心考点)(讲义)
(已下线)专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 (14大核心考点)(讲义)重庆市南华中学校2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题天津市南开区2021-2022学年高一下学期期中数学试题第六章 立体几何初步(A卷·夯实基础) -2021-2022学年高一数北师大版2019必修第二册天津市第二十一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题天津市北京师范大学静海附属学校2022-2023学年高一下学期第二次阶段性评估(期中)数学试题(已下线)重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球(二十三大题型)-1
名校
解题方法
5 . 在棱长为
的正方体
中,
分别为
的中点,
为正方体棱上一动点.下列说法中所有正确的序号是___________
①
在
上运动时,存在某个位置,使得
与
所成角为
;
②
在
上运动时,
与
所成角的最大正弦值为
;
③
在
上运动且
时,过
三点的平面截正方体所得多边形的周长为
;
④
在
上运动时(
不与
重合),若点
在同一球面上,则该球表面积最大值为
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8860d9787671b53b1ab68b3d526f5ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7789a500686c7a73770404ead6af0590.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8fee291a77b75c3bf7b2255b475211bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67c015d99f2677951bdcd0447240ef93.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/10d8eb4a9f462ca0c1d49c3fe91e720d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d5bca00fa20e6e80480b9d06d2e52ee.png)
②
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67c015d99f2677951bdcd0447240ef93.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d88bf46ad08f9677c37eed1d0369329.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3fe2c533dbc23a34518f72f3cb14f330.png)
③
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2777840758e70e7dbbc18cef8f3d6d2b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c4ae10933017e734cb333766920e4c38.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/748952a03ee743295c7095917703d7f6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23552e1933f291d0a4c3f4d3b9371f5d.png)
④
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d88bf46ad08f9677c37eed1d0369329.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1241216f3c1cb5e73043dd1037f556d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d1f1bf177e3452d43debfdd7f7d28ddf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12e0166cef87d437ba03524bbdb61288.png)
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2022-04-08更新
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1564次组卷
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6卷引用:点线面之间的位置关系
(已下线)点线面之间的位置关系四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题甘肃省高台县第一中学2022届高三下学期第七次检测数学(文)试题(已下线)考向27 空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)江西省南昌市第十中学2023届高三第一次模拟数学(文)试题江西省南昌市第十中学2023届年高三第一次模拟数学(理)试题
名校
解题方法
6 . 如图,在正四棱台
中,
,且存在一个半径为
的球,与该正四棱台的各个面均相切.设该正四棱台的外接球半径为R,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2187de07874b5370c4489cb4a2dff0b1.png)
__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/439cf259dd6137aa31bb99244a04ddfc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2187de07874b5370c4489cb4a2dff0b1.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/31/2948111652847616/2948915355475968/STEM/f3ece94128204c3c85899c29ef021c16.png?resizew=271)
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2022-04-01更新
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1053次组卷
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8卷引用:甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试数学试题
甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试数学试题青桐鸣2021-2022学年高三3月质量检测理科数学试题河南省豫北重点高中2021-2022学年高三下学期3月质量检测理科数学试题河南省许平汝联盟2021-2022学年高三下学期3月质量检测理科数学试题(已下线)查补易混易错点06 立体几何-【查漏补缺】2022年高考数学(理)三轮冲刺过关(已下线)专题1 空间几何体的长度运算(提升版)广东省东莞市第四高级中学2023届高三上学期9月月考数学试题(已下线)广东省汕头市2023届高三第一次模拟数学试题变式题11-16
名校
解题方法
7 . 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2,将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D1−ABC.当三棱锥D1−ABC体积最大时,则此时三棱锥外接球体积为________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/29/2946857634652160/2947625863806976/STEM/840a2d8e9bd142a89952327e1ed1a68f.png?resizew=236)
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2022-03-30更新
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1085次组卷
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7卷引用:8.6.3平面与平面垂直 (第2课时) -【上好课】(人教A版2019必修第二册)
(已下线)8.6.3平面与平面垂直 (第2课时) -【上好课】(人教A版2019必修第二册)河南省郑州市2022届高三第二次质量预测理科数学试题(已下线)必刷卷01-2022年高考数学考前信息必刷卷(新高考地区专用)河南省豫南省级示范高中联盟2021-2022学年高三下学期联考三理科数学试题河南省信阳高级中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学(理)试题江西省南昌市东湖区南昌市八一中学2023届高三上学期2月月考文科数学试题(已下线)湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(二)数学试题变式题15-18
名校
解题方法
8 . 已知球
为正三棱柱
的外接球,正三棱柱
的底面边长为1,且球
的表面积是
,则该正三棱柱的体积为___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0bd391e109f0487c14198b6d9bc4db7.png)
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解题方法
9 . 如图,在正三棱柱
中,
,
,P为线段
上的动点,且
,则下列命题中正确的是___________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/25/2943953569005568/2946520702754816/STEM/657b1c20-82a8-4916-952e-b4045e66b05a.png?resizew=138)
(1)存在
使得
;
(2)当
时,异面直线
和
所成角的余弦值为
;
(3)当
时,三棱锥
的外接球体积为
;
(4)过P且与直线
和直线
所成角都是60°的直线有三条.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca37feb165ab4711a42c47fe929e5624.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/92535536bd3c2761724fd058427f95a8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0a851907ada2ac2c3c4880a6736d28a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a5ab543282d9b830fda43ddf62762208.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/25/2943953569005568/2946520702754816/STEM/657b1c20-82a8-4916-952e-b4045e66b05a.png?resizew=138)
(1)存在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df64046e91b047037f19e4032e3b6de3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e90bcfd448fc7d2d52b55874c9e6201e.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f83464bf17f9d4d9ee6a7f299539871.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7d0ff310aabd2282b539537ebed3f788.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/588eb9393564a33552c4b2e8de837ca5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/131cfa82f83b885d57a05235463d1b03.png)
(3)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73b3cf0f585938ede9eca890a6eb326d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8c117ff1623684173352cf7271248239.png)
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(4)过P且与直线
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10 . 中国四大名著《水浒传》中有这样几句诗:“赤日炎炎似火烧,野田禾稻半枯焦;农夫心内如汤煮,公子王孙把扇摇”.在如此炎热的夏天,很多饮料公司打出各种吸引眼球的冰淇淋广告标语,某餐饮公司冰淇淋广告标语为“眼里只有你,甜在我心里”.在这个公司的众多冰淇淋中,有一种冰淇淋可以近似认为是由1个圆锥和1个半球体组合构成,并且圆锥底面圆的半径与半球体半径相等,其中圆锥的母线长是其底面圆半径的2倍.如图所示,若该冰淇淋半球体的表面积为
,则该冰淇淋的体积是__________ .
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