1 . 已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．

(1)如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；
(3)若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长．

2 . 如图1，抛物线：经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
   
(1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
(2)如图2，直线：经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为（），连接并延长，交抛物线于点，交直线于点，若，求的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，在中，，的平分线交于，过点作交于，以为直径作．

(1)求证：点在上；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的面积．

4 . 如图，在中，，，．现在内叠放边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点，分别在，上，依次这样叠放上去，则最多能叠放多少？（　　）

A．16个

B．13个

C．14个

D．15个

5 . 如图，点在双曲线上．

(1)求双曲线的解析式；
(2)若矩形ABCD的顶点在双曲线上，顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，且，求点C的坐标．

6 . 如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

7 . 如图,已知是锐角的外接圆,,是的直径,是边上的高,连接．

(1)求证:．
(2)若,,求的长．

8 . 如图，在矩形中，点E在边上，连结，过点B作于点F．
   
(1)求证：；
(2)连接，若，，，求的长．

9 . 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

(1)问题发现：如图，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ___________；
(2)变式探究：如图，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，求正方形的边长．

10 . 已知在Rt中，于点．

(1)在图1中，写出其中两对相似三角形．
(2)已知，将绕着点D按顺时针方向进行旋转得到，连接．
①如图2，判断与之间的位置及数量关系，并证明；
②在旋转过程中，当点在同一直线时，求的长．