1 . ABC是等边三角形，在CDE中，CD＝ED，∠CDE＝120°，连接AD，BE．

(1)如图1，若E是线段AB上一点，sin∠ACD＝，CE＝3，则AD长度为多少？
(2)如图2，取BE中点为F，连接AF，DF，DE与AF的交点为G．若DE平分∠FDA，猜想并证明AG与DF的数量关系；
(3)如图3，若AB＝2，E是线段AB上一点，点M是线段CD上一点，将绕点C顺时针旋转90°得到，连接，请直接写出当面积最大时，的最大值．

2 . 如图，已知点(0，)在抛物线C₁：y＝x²+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．

(1)求抛物线C₁的解析式；
(2)抛物线C₁沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C₂，如图2，抛物线C₂与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C₂上，且在线段ED的下方，作MNy轴交线段DE于点N，连接ON，记EMD的面积为S₁，EON的面积为S₂，求S₁+2S₂的最大值；
(3)如图3，在（2）的条件下，抛物线C₂的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C₂上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．
①直接写出P点坐标；
②是否在抛物线C₂的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．

3 . 如图，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，连接AP、AQ，∠PAQ＝45°．

(1)如图1，连接BD交AP、AQ于点E、F，将ABE绕A点逆时针旋转90°至，若EF＝5，＝3，求DF的长；
(2)如图2，G为AP上一点，连接BG，GM⊥AQ于点M，MN⊥BG交BG的延长线于点N，连接DG交MN于点H，连接DM，若H为MN的中点，求证：BN=MN+MD；
(3)如图3，若AB＝2，∠DAQ＝30°，S为AQ中点，R为AP上任意一点，将RQ沿着RS翻折到正方形ABCD所在平面得，连接，当的面积最大时，直接写出RQ的长．

5 . 在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接CE，平面内有一动点F满足．

(1)如图1，若点F在CD上，，求DE的长；
(2)如图2，连接DF，CF，若CF与BD交于点G，点G恰为DE中点，，求证：；
(3)如图3，若，当AF最小时，直接写出的值．

6 . 已知：在△ABC中，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高，作DFAB交AC于点F．

(1)如图1，若∠B＝75°，AD＝2，求线段CF的长度；
(2)如图2，点E是线段AD的中点，且DE＝DB，连接EF，点G在AD左侧，AG⊥AC，且AG＝CF，连接BG，试探索线段BG、DF、AB的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在（2）的条件下，线段CF上有一动点M，连接EM，将△EFM沿EM翻折得△EF'M，取AB的中点H，连接CF'、BF'、HF'．若，当线段CF'的长度最小时，直接写出△BHF'的面积．

9 . 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线，将△ABD沿过点D的某条直线折叠得到△FED，直线EF分别与线段AB、BD交于点G、H．

(1)求证：BG＝EG；
(2)如图2，当点E、H、C三点共线时，请求S_△DFH的值．
(3)若△DEH是等腰三角形，求tan∠DEB的值．

10 . 如图1，为等边三角形，D为AC右侧一点，且，连接BD交AC于点E，延长DA、CB交于点F．

(1)若，，求AD；
(2)证明：；
(3)如图2，若，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90°到MN，连接AN，CN，当AN最小时，直接写出的面积．