1 . 已知函数．
(1)若，，求证：有且仅有一个零点；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．

2 . 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.

3 . 如图，和都垂直于平面，且，是的中点

   

(1)证明：直线//平面；
(2)若平面平面，证明：直线平面.

4 . 已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)证明：当时，．
（参考数据：）

5 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为2．
(1)过右焦点的直线与双曲线交于两点，且的面积是，求直线的方程；
(2)设点在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为，证明：直线过定点．

6 . 已知函数.
(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.
(2)在（1）的条件下，求证：.

7 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，求证：.

8 . 在四棱锥中，底面为菱形，，为点的中点.
   
(1)若，求证：平面；
(2)点在线段上，且，当平面时，求的值.

9 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．

10 . 已知函数，.
(1)判断并证明在上的单调性；
(2)当时，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.