1 . 如图，在正四棱锥
中，
为底面
的中心．
，
，求正四棱锥的体积；
(2)若
，
为
的中点， 求直线
与平面
所成角的大小．
中，为底面的中心．
，，求正四棱锥的体积；(2)若
，为的中点， 求直线与平面所成角的大小．
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2 . 已知椭圆 
的左、右顶点分别为
、
，且椭圆
经过点 
.
(1)求
的值，并求经过点
且与圆
相切的直线方程；
(2)设
为椭圆上的一个异于、的动点，直线
、
分别与直线
相交于
、
两点，求
的最小值：
(3)已知椭圆上有不同的两点
、
，且直线
不与坐标轴垂直，设直线
、
的斜率分别为
、
，求证：“
”是“直线经过定点
”的充要条件．
的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 .(1)求
的值，并求经过点且与圆相切的直线方程；(2)设
为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值：(3)已知椭圆
上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件．
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解题方法
3 . 已知函数
的部分图象如图所示.
的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)若锐角
满足
，求
的大小.
的部分图象如图所示.
的解析式；(2)求
的单调递增区间；(3)若锐角
满足，求的大小.
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4 . 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设
定义在
上的函数，若对于中任意两点
，都有
，则称是“
-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数
，
在
上是否为“1-利普希兹条件函数”；
(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设
，若存在
，使
是“2024-利普希兹条件函数”，且关于
的方程
在
上有两个不相等实根，求
的取值范围.
定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数
，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设
，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.
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5 . 已知函数
.
(1)讨论的单调性；
(2)若
，求
的最大值.
.(1)讨论
的单调性；(2)若
，求的最大值.
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解题方法
6 . 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点
为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点
，
. 如图1所示建立平面直角坐标系
，曲线所对应的方程为
，
，曲线所对应的方程为
，
.
的值及曲线所在椭圆的离心率
的值；
(2)现要在平安锁上找一个点
作为装饰孔，要求过点且法向量为
的直线
与曲线交于
两点（如图2所示），满足
，求实数
的值；
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.
和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，.
的值及曲线所在椭圆的离心率的值；(2)现要在平安锁上找一个点
作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值；(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段
和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.
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名校
解题方法
7 . 已知
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若对任意的
，且
，都有
，求实数
的取值范围.
.(1)求曲线
在处的切线方程；(2)若对任意的
，且，都有，求实数的取值范围.
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名校
解题方法
8 . 已知椭圆
.
(1)若椭圆
的左右焦点分别为
为的上顶点，求
的周长；
(2)设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点
，且
为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
.(1)若椭圆
的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长；(2)设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
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名校
9 . 已知
，解关于的不等式
.
，解关于的不等式.
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10 . 如图，三棱台
中，
是边长为2的等边三角形，四边形
是等腰梯形，且
，
为
的中点.
；
(2)若过
三点的平面截三棱台所得的截面面积为
.当二面角
为锐二面角时，求二面角
的正弦值.
中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点.
；(2)若过
三点的平面截三棱台所得的截面面积为.当二面角为锐二面角时，求二面角的正弦值.
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