1 . 如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，是的中点．
       
(1)证明：平面；
(2)证明：平面．

2 . 在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．
   
(1)证明：平面．
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．

3 . 已知矩形中，，，是的中点，沿直线将△翻折成△，则三棱锥的体积的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．若翻折后，则二面角A－BD－C的余弦值为

D．在翻折的过程中，若点A在平面BCD上的射影落在△BCD的内部，则四面体ABCD的体积的取值范围为

5 . 如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为.

(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C的正切值.

6 . 如图所示，在五棱锥中，侧面底面，是边长为2的正三角形，四边形为正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.
   
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.

7 . 近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注.足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为______________.
   

8 . 如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由．

9 . 某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面，面，面都与面垂直，如图②，则经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为（       ）
   

A．

B．

C．

D．

10 . 将沿它的中位线折起，使顶点到达点的位置，使得，得到如图所示的四棱锥，且，，为的中点.
   
(1)证明：平面.
(2)求四棱锥的体积.