1 . 某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．
小组讨论后，同学们做了以下试验：
   
请根据以上图案回答下列问题：
(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；
(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？
(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．

4 . 问题探究：

(1)如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________；
(2)如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大．
问题解决：
(3)某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）

5 . 问题提出：
（1）如图①，已知线段，试在其上方确定一点C，使，且的面积最大，请画出符合条件的．
问题探究：
（2）如图②，在矩形中，点E在边上，且，连接，若，求面积的最大值．
问题解决：
（3）某市新建成一迎宾广场，园林部门准备在“三·八”节前，用少量资金对广场一角进行绿化美化改造，以提升城市形象．根据地形特点，准备设计一个由三条线段及一段组成的区域，并在其内部栽花种草进行美化．如图③所示，在以为直径的半圆上，圆心为O，米，为保证最佳观赏效果，要求的长为，已知栽花种草每平方米费用为50元（含所有花费），园林部门准备了2600元用于上述区域的绿化工作，请问是否可满足本次绿化美化改造最大费用的需求？（参考数据，）

6 . 现有一块矩形板材，，，点为边上一点，连接，过点在矩形板材上作，且．

(1)如图1，若点恰好落在边上，则线段的长为_____；
(2)如图2，连接，求线段长度的最小值；
(3)如图3，连接，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形？若能，请求出四边形面积的最小值；若不能，请说明理由．

8 . 问题提出
（1）如图①，在中，，，求的面积．
问题解决
（2）如图②，某公园准备在圆形场地内设计一个四边形娱乐区，图中四边形为娱乐区的示意图，其中，是的直径，米，点E为直径上一点，且米，是过点E的一条弦．为了给广大市民提供更大范围的娱乐区，试确定娱乐区四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出它的最大面积，若不存在，请说明理由．

9 . 问题提出：
(1)如图，在矩形中，，，是对角线上的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作于，求的长．
问题解决：
(2)年月我省局部发生疫情，为落实科学防治、精准施策、分级管理，我省某小区设计防疫区域，在道路边固定柱子点，道路边确定一点，以为边，搭建正方形防疫区域，内部道路上设点作为记录处，、、、分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图所示，已知道路两边，道路宽为，为上一定点，为上一动点，于．请问是否存在符合设计要求且面积最小的？若存在，请求出面积最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．

10 . 问题背景
在中，，点D为边上一动点，点E为边上一动点，沿直线把翻折，得到．
问题解决

(1)如图1，当与B重合时，求线段的长；
(2)如图2，当与边相交于点F，且时，连接，
①求五边形面积的最大值；
②连接，则的周长的最小值为        （直接写出答案）．