1 . 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足台时，（万元）；当月产量不小于台时，（万元）．若每台机器售价万元，且当月生产的机器能全部卖完．
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

2 . 已知函数，.
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值.

3 . 新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

年龄/人数	长期潜伏	非长期潜伏
50岁以上	60	220
50岁及50岁以下	40	80

（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率的知识解释其合理性；
（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.
附：

	0.1	0.05	0.010
	2.706	3.841	6.635

若，则，，.

4 . 如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点，直线、的倾斜角互补．直线与轴正半轴相交，分别记交点为．

（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程；
（3）若与双曲线的左、右两支分别交于，求的范围．

5 . 已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函数．
（1）若，，求的值∶
（2）若，，，，求2a+β的值．．

6 . 已知，，分别为的内角，，的对边，.
（1）若，，求；
（2）已知，求的面积最大时的周长，

7 . 已知复数(为虚数单位)．
(1)若，求复数的共轭复数；
(2)若z是关于x的方程的一个虚根，求实数m的值．

8 . 已知函数，，.
（1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，证明：.

9 . 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求m的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

10 . 某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径长为4米（如图），徽标的核心部分为梯形，它由三个区域构成：区域Ⅰ为等边三角形，区域Ⅱ为，区域Ⅲ为等腰三角形，其中，点、都在半圆弧上，点在半径上，记．

（1）试用表示区域Ⅱ的面积，并写出的取值范围；
（2）若区域Ⅲ的面积为平方米，求区域Ⅱ的面积（用表示），并求徽标核心部分面积的最大值．