1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．

4 . 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．

(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的中位数；
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求．

5 . 如图，是边长为4的正方形，平面，，且．

(1)证明：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

7 . 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，．

(1)证明：；
(2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的正弦值．

8 . 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据）．

建立平台第x年	1	2	3	4
会员人数y（千人）	28	36	52	82

(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立年后会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数；
①；②（且）；③（且）；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．

10 . 已知，函数，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)，不等式恒成立，求a的取值范围．