1 . 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8

(1)求椭圆C的方程;
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
②求面积的最大值.

2 . 已知函数．
(1)若时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若，时，函数有两个极值点，，求证：．

3 . （1）求函数的极值；

（2）若，证明：当时，．

4 . 在各项均为正数的数列中，，，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为．
（i）求；（ii）证明：．

5 . 已知函数有两个不同的零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.

6 . 已知双曲线的渐近线方程为，且点在上．
(1)求的方程；
(2)点在上，且为垂足．证明：存在点，使得为定值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．

(1)当与圆相切时，求；
(2)求证：直线与直线的交点在圆内．

8 . 已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的上､下顶点分别为点，过点的直线与椭圆交于不同两点，且，直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上.

9 . 已知椭圆过两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条相互垂直的直线分别交椭圆C于P，Q两点，求面积的最大值．

10 . 已知函数有两个不同的零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．