1 . 如图，在中，，，分别为，的中点，四边形的一边经过点，，对角线分别与，交于点、．

(1)求证：四边形为菱形．
(2)当，时，求的长．

2 . 如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B、C重合），连接，点C关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点P，F是的中点．连接

(1)求的度数；
(2)连接，求证：；
(3)连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值．

4 . 如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为（　　）

A．52

B．50

C．48

D．46

5 . 在中，的平分线交直线于点E、交的延长线于点F，连接．

(1)如图1，若，G是的中点，连接、．
①求证：．
②请判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，若，将线段绕点F顺时针旋转至，连接、，那么又是怎样的形状．

6 . 阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为、边上的点，，连接，求证：．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点A顺时针旋转得到（如图2），此时即是．

请回答：在图2中，的度数是           ．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形中，，，，E是上一点，若，，求的长度．
（2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当           时，线段有最大值，并求出的最大值．

8 . 如图，四边形为矩形，点，是边上的两个点，．

(1)求证：；
(2)请仅用无刻度的直尺作出的垂直平分线．

9 . 在下列特殊四边形中，图、图、图分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题．

(1)请在图中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分；
(2)请在图中作出两条直线，其中一条要经过点使它们将正方形的面积四等分；
(3)在图直角梯形中，，，，，，点是的中点，试探究在边上是否存在一点，使所在直线将梯形的面积分成相等的两部分？如若存在，求出的长；若不存在，说明理由．