1 . 教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
(1)【操作发现】
(2)【探究证明】
(3)【拓展应用】
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角形有多少种？
(1)【操作发现】
如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】
已知：如图2，在
和
中，
，
，
．
求证：
．
证明：在
上取一点
，使
．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】
在中，
，点
在射线
上，点
在
的延长线上，且
，连接
，与边所在的直线交于点
．过点作
交直线于点
，若
，
，则
_________．（直接写出答案）
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2 . 综合与实践
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形
中，E是对角线
上一动点，过点D作
的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线
，分别交边
，
于点G，H．试探究线段
与
的数量关系．
小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______．
【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段
的长．
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形
中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系．小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线
的中点，则线段与的数量关系为______．【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形
的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 
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3 . 在
中，
，
，．如图（1），将绕A点旋转得到
．连接
、
．
(1)当点D落在
延长线时，
______．
(2)在旋转过程中，当A、C、D三点共线时，求
的长．
(3)如图（2），点F为的中点，直线与直线相交于点G．在旋转过程中，求写出线段的取值范围．
中，，，．如图（1），将绕A点旋转得到．连接、．(1)当点D落在
延长线时，______．(2)在旋转过程中，当A、C、D三点共线时，求
的长．(3)如图（2），点F为
的中点，直线与直线相交于点G．在旋转过程中，求写出线段的取值范围．
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4 . 如图，
是的角平分线，
，垂足为，
交
的延长线于点，若恰好平分
，
，给出下列四个结论：①
；②
；③
；④
，其中正确的结论共有___ 个．
是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有
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解题方法
5 . 综合与实践
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“
”或“
”或“
”或“
”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知
可证得
，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
在正方形中，点E在上，点M，N分别在
上，连接
交于点P．
甲小组同学根据
画出图形如图2所示，乙小组同学根据
画出图形如图3所示．
甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
（2）①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若
，则
的度数为________．
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，
，点E在边上，点M在边上，且
，点F，N分别在直线
上，若
，当直线
与直线
所夹较小角的度数为
时，请直接写出
的长．
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，E，F分别是 上的两点，连接 交于点P．
，求证：．甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得  ．再由 ， ，证得 （依据：________），从而得．乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知 ，同样可证得，证明思路如下：由 ， 可证得 ，可得，再根据角的等量代换即可证得． |
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“
”或“”或“”或“”）【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知
可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
在正方形
中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据
画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知
仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．（2）①在图2中，已知
，求证：；②在图3中，若
，则的度数为________．【拓展应用】
（3）如图4，在正方形
中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
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6 . 如图，菱形的边长为2，
，将菱形纸片翻折，使点B落在对角线上的点
处，折痕为，连接
，当
为等腰三角形时，
的长为________ ．
的边长为2，，将菱形纸片翻折，使点B落在对角线上的点处，折痕为，连接，当为等腰三角形时，的长为
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2024-03-20更新
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111次组卷
|
3卷引用：河南省部分学校2024年中考模拟考试数学模拟试题
河南省部分学校2024年中考模拟考试数学模拟试题河南省安阳市昼锦中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（已下线）专题06 四边形中的证明与计算问题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（江苏专用）
名校
7 . 如图，在中，
，
，是的中点，连接，过点
作
，分别交
于点
，与过点
且垂直于的直线相交于点，连接
．以下四个结论：
；
点是
的中点；
；
，其中正确的结论序号是（ ）
中，，，是的中点，连接，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连接．以下四个结论：；点是的中点；；，其中正确的结论序号是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2024-03-20更新
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100次组卷
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3卷引用：2024年河南省漯河市实验学校中考二模考试数学模拟试题
名校
8 . 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，
与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面
高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离
分别为
和
，
．
(1)
与
全等吗？请说明理由；(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
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2024-03-20更新
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103次组卷
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17卷引用：河南省安阳市文峰区昼锦中学2022-2023学年八年级上学期12月月考数学试题
河南省安阳市文峰区昼锦中学2022-2023学年八年级上学期12月月考数学试题河南省南阳市唐河县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题河南省南阳市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题河南省南阳市宛城区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题四川省宜宾市兴文县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题江苏省盐城景山中学2021-2022学年八年级上学期第二次课堂检测数学试题江苏省连云港市东海县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题（已下线）第01讲 全等三角形-【寒假自学课】2022年八年级数学寒假精品课（苏科版）陕西省渭南市临渭区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题江苏省扬州市宝应县实验初级中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题（已下线）第12章 全等三角形（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练-2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）浙江省杭州市拱墅区文澜中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题江苏省扬州市仪征市刘集初级中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题广东省东莞市2023-2024学年八年级上学期月考数学试题山东省济宁市邹城市第八中学2023-2024学年八年级上学期期中数学模拟试题四川省德阳市中江县2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题重庆市黔江实验中学校2023-2024学年八年级上学期半期数学试题
9 . （1）特殊发现如图1，正方形
与正方形的顶点重合，
，
分别在，
边上，连接，则有：
①
=______；②直线与直线
所夹的锐角等于______度；
（2）理解运用
将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、．
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由；
②如图3，若、、三点在同一直线上，且过边的中点
，
，请直接写出的长；
与正方形的顶点重合，，分别在，边上，连接，则有：①
=______；②直线与直线所夹的锐角等于______度；（2）理解运用
将图1中的正方形
绕点逆时针旋转，连接、．①如图2，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由；
②如图3，若
、、三点在同一直线上，且过边的中点，，请直接写出的长；
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10 . 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点
，
，将向上平移一个单位长度后，点C的坐标为（ ）
为等腰直角三角形，点，，将向上平移一个单位长度后，点C的坐标为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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