1 . 若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上被控制．
(1)已知函数在上被控制，求的取值范围．
(2)①证明：函数在上被控制．
②设，证明：．

2 . 设点在曲线上，在曲线上，且满足，
(1)求的方程；
(2)点在上，过点的直线与的渐近线交于两点，且是的中点，求（为坐标原点）的面积；
(3)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线．

3 . 已知函数，.
(1)若曲线在处的切线斜率为，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.

4 . 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质．
(1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由；
①；
②；
(2)已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质．求证：是偶函数；
(3)已知，k为给定的正实数，若函数具有性质．求a的取值范围．

6 . 记为数列的前项和，已知：，，．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：
(2)求数列的前项和．

7 . 已知函数．
(1)若在恒成立，求a的取值范围；
(2)若，证明：存在唯一极小值点，且．

8 . 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．

9 . 已知函数.
(1)若，求证：；
(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围.

10 . 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．

   

(1)证明：平面．
(2)证明：．
(3)若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．