1 . 已知数列
是公比大于0的等比数列．其前
项和为
．若
．
(1)求数列前项和；
(2)设
，
．
（ⅰ）当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．(1)求数列
前项和；(2)设
，．（ⅰ）当
时，求证：；（ⅱ）求
．
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2 . 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：
一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为
．其中
．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：
，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合
，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
(2)若
，记
为整数n的二进制表达式中0的个数，如
，求
的值．（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．(1)令集合
，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？(2)若
，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
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3 . 棱长为
的正方体
中，
为棱
的中点，
为正方形
内一个动点（包括边界），且
平面
，则当三棱锥
体积取最大时，其外接球的表面积为_________ .
的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为
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解题方法
4 . 数列
的前n项和为，若存在正整数r，t，且
，使得
，
同时则称数列为“
数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列是“
数列”，求d的值；
(2)已知数列为等比数列，公比为q．
①若数列为“数列”，
，求q的值；
②若数列为“数列”，
，求证：r为奇数，t为偶数．
的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”．(1)若首项为3，公差为d的等差数列
是“数列”，求d的值；(2)已知数列
为等比数列，公比为q．①若数列
为“数列”，，求q的值；②若数列
为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．
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解题方法
5 . 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）
的方程，若曲面和三元方程
之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解
为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面
的方程为
，双曲面可视为平面
中某双曲线的一支绕
轴旋转一周所得的旋转面，已知直线
过C上一点
，且以
为方向向量.
(1)指出
平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线在曲面上；
(3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线
在曲面上，且过点
，求异面直线与所成角的余弦值.
的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量.(1)指出
平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；(2)证明：直线
在曲面上；(3)若过曲面
上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.
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6 . 已知甲口袋有
个红球和2个白球，乙口袋有
个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.
(1)当
时，
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为
，求的数学期望；
(2)当
时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为
，则当
为何值时，最大？
个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.(1)当
时，（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为
，求的数学期望；(2)当
时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？
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7 . 已知三棱锥
是边长为2的正三角形，
分别是
的中点，
在平面
内的投影为点
在平面
内的投影为点．（ ）
是边长为2的正三角形，分别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（ ）A． 两两垂直 |
B．在平面 的投影为 的中点 |
C． 三点共线 |
D．形如三棱锥 的容器能被整体装入一个直径为2.5的球 |
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2024-06-12更新
|
449次组卷
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3卷引用：河南省郑州市2024届高三第三次质量预测数学试题
解题方法
8 . 已知椭圆
，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率
，点P为该椭圆上一点，且△F1PF2的面积的最大值为
.
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.
，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，点P为该椭圆上一点，且△F1PF2的面积的最大值为.
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.
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名校
解题方法
9 . 如图，在长方形
中，
，
，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将
沿AF折起，使平面
平面，在平面
内过点D作
，K为垂足．设
，则t的取值范围是（ ）
中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2024-06-12更新
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394次组卷
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3卷引用：江西省贵溪市实验中学2024届高三下学期5月高考冲刺压轴卷（一）数学试卷
名校
10 . 已知函数
，其中e为自然对数的底数．
(1)若函数
在
上有2个极值点，求a的取值范围；
(2)设函数
，
），证明：
的所有零点之和大于
．
，其中e为自然对数的底数．(1)若函数
在上有2个极值点，求a的取值范围；(2)设函数
，），证明：的所有零点之和大于．
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