1 . 曲线的曲率定义如下：若是的导函数，令，则曲线在点处的曲率．已知函数，，且在点处的曲率．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）若，且，求证：．

2 . 如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．

(1)求证：平面平面；
(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．

3 . 已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.

4 . 已知函数，
(1)当时，求在区间上的值域；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：.

5 . 已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

6 . 如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.
   
(1)证明：；
(2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为.

7 . 已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.

8 . 已知函数，其中．
(1)证明：恒有唯一零点；
(2)记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．

9 . 已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.

10 . 已知函数，．
(1)证明：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，证明：．