1 . 约数,又称因数.它的定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.设正整数共有个正约数,记为,,…,,().
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若,,…,构成等比数列,求证:;
(3)记,求证:.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若,,…,构成等比数列,求证:;
(3)记,求证:.
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2024-05-31更新
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457次组卷
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3卷引用:广东省江门市新会第一中学2024届高三下学期高考热身考试数学试题
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2 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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3 . 若集合,集合,其中,则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意,恒有,则称为的一个“个性独立子集”.已知集合,集合是的一个“个性独立子集”.
(1)求所有满足条件的集合的个数;
(2)若且互不相等,证明:为定值.
(1)求所有满足条件的集合的个数;
(2)若且互不相等,证明:为定值.
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解题方法
4 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)设是函数的两个极值点,
(i)求a的取值范围
(ii)证明:恒成立.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)设是函数的两个极值点,
(i)求a的取值范围
(ii)证明:恒成立.
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解题方法
5 . 已知椭圆左右焦点为,,A是上顶点,B是右顶点,.
(1)求椭圆的离心率;
(2)当时,直线l与椭圆相切于第二象限的点D,与y轴正半轴相交于点M,直线AB与直线l相交于点H,为H在x轴上投影,若(表示的面积,O为坐标原点),求直线l的方程.
(1)求椭圆的离心率;
(2)当时,直线l与椭圆相切于第二象限的点D,与y轴正半轴相交于点M,直线AB与直线l相交于点H,为H在x轴上投影,若(表示的面积,O为坐标原点),求直线l的方程.
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6 . 已知,函数,.
(1)若函数的最小值是0,求实数m的值;
(2)已知曲线在点处切线的纵截距为正数.
(ⅰ)证明:函数恰有两个零点;
(ⅱ)证明:.
(1)若函数的最小值是0,求实数m的值;
(2)已知曲线在点处切线的纵截距为正数.
(ⅰ)证明:函数恰有两个零点;
(ⅱ)证明:.
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7 . 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法.其基本思想是:通过对待排序序列从左往右,依次对相邻两个元素(,2,,)比较大小,若,则交换两个数的位置,使值较大的元素逐渐从左移向右,就如水底下的气泡一样逐渐向上冒,重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如:对于序列进行冒泡排序,首先比较,需要交换1次位置,得到新序列,然后比较,无需交换位置,最后比较,又需要交换1次位置,得到新序列,最终完成了冒泡排序.同样地,序列需要依次交换,完成冒泡排序.因此,和均是交换2次的序列.现在对任一个包含n个不等实数的序列进行冒泡排序(),设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为,只需要交换1次的序列个数为,只需要交换2次的序列个数为,则下列说法正确的有( )
A. | B. |
C. | D. |
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8 . 已知圆C过点,,.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M,N,点P为直线上的动点,直线PM,PN与圆C的另一个交点分别为E,F(EF与MN不重合),证明:直线EF过定点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M,N,点P为直线上的动点,直线PM,PN与圆C的另一个交点分别为E,F(EF与MN不重合),证明:直线EF过定点.
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解题方法
9 . 函数极限是现代数学中非常重要的概念,函数在处的极限定义如下:,存在正数,当时,均有,则称在处的极限为A,记为,例如:在处的极限为2,理由是:,存在正数,当时,均有,所以.已知函数,,(,为自然对数的底数).
(1)证明:在处的极限为;
(2)若,,,求的最大值;
(3)若,用函数极限的定义证明:.
(1)证明:在处的极限为;
(2)若,,,求的最大值;
(3)若,用函数极限的定义证明:.
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10 . 已知,,直线l:,动点P到l的距离为d,满足,设点P的轨迹为C,过点F作直线,交C于G,H两点,过点F作与垂直的直线,直线l与交于点K,连接AG,AH,分别交直线l于M,N两点.
(1)求C的方程;
(2)证明:;
(3)记,的面积分别为,,四边形AGKH的面积为,求的范围.
(1)求C的方程;
(2)证明:;
(3)记,的面积分别为,,四边形AGKH的面积为,求的范围.
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