1 . 定义在R上的函数，当，且对任意，有.
(1)求证：对任意，都有；
(2)判断在R上的单调性，并用定义证明；
(3)求不等式的解集.

2 . 已知函数，其中e为自然对数的底数．
(1)若函数在上有2个极值点，求a的取值范围；
(2)设函数，），证明：的所有零点之和大于．

3 . 如图1，已知在矩形中，，，为的中点.将沿折起，使得平面平面，如图2.

(1)求证：平面平面；
(2)设，.
①是否存在，使?
②当为何值时，二面角的平面角的余弦值为?

4 . 记为数列的前项和.已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求数列的前2024项的和.

5 . 已知数列满足，.
(1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前30项和．

6 . 如图，已知在中，，延长BC到，使得，连接AD.
   
(1)求证：；
(2)若，，求的周长.

7 . 已知数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)若，记数列的前n项和为，求证：．

8 . 已知椭圆左、右焦点分别为、，
   
(1)过右焦点的直线被C所截线段是弦，当垂直于x轴时弦为通径ST，求证： 最小值是通径；
(2)如图所示，若C的右顶点为，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点.
（ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（ⅱ）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点，若，求实数的取值范围.

9 . 已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设是的导数.当时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：.

10 . 已知数列满足，.
(1)证明为等差数列，并求的通项公式；
(2)若不等式对于任意都成立，求正数的最大值.