1 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列
．的通项公式；
(2)证明：当
时，
(3)若数列
满足
，对于
，证明：
．
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．
的通项公式；(2)证明：当
时，(3)若数列
满足，对于，证明：．
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2 . 如图，圆I的半径为4，圆心
，G是圆I上任意一点，定点
，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为
．的方程；
(2)设动直线
与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线
相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．
的方程；(2)设动直线
与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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解题方法
3 . 在平面直角坐标系
中，点
与点
关于原点对称，
是动点，且直线
与
的斜率之积等于
．
(1)求动点的轨迹方程
；
(2)过点
作两条斜率为
的直线分别交曲线于
（异于
）两点，且
，求证：直线
过定点，并求出定点坐标．
中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．(1)求动点
的轨迹方程；(2)过点
作两条斜率为的直线分别交曲线于（异于）两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
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4 . 已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)在锐角
中，角
所对的边分别为
，
，且
，求面积的取值范围.
.(1)求
的单调递增区间；(2)在锐角
中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围.
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2024-05-08更新
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798次组卷
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2卷引用：黑龙江省九校联盟（齐齐哈尔五校+黑河四校 ）2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题
5 . 已知椭圆
分别为椭圆
的左顶点和右焦点，过
作斜率不为
的直线
交椭圆于点，
两点，且
.当直线
轴时，
.的方程；
(2)设直线
的斜率分别为，问
是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线交
轴于点
，若过
点作直线的平行线
交椭圆于点
，求
的最小值.
分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.
的方程；(2)设直线
的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；(3)直线
交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.
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解题方法
6 . 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图像，定义双曲正弦函数
.类比三角函数的性质:①平方关系:
，②导数关系:
.
(1)直接写出
具有的类似①、②的性质（不需要证明）：
(2)证明:当时，
;
(3)求
的最小值.
的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:.(1)直接写出
具有的类似①、②的性质（不需要证明）：(2)证明:当
时，;(3)求
的最小值.
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解题方法
7 . 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：
，
，
．
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于
的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；
(2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为
，选择套餐的概率为
，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为
张的概率为
，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列
．
①求的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数
，总存在正整数
，使得当
时，
，（
是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列
收敛．
参考公式：
，
．
和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况．| 日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 销售量（千张） | 1.9 | 1.98 | 2.2 | 2.36 | 2.43 | 2.59 | 2.68 | 2.76 | 2.7 | 0.4 |
，，．(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求
关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；(2)若购买优惠券的顾客选择
套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求；(3)记（2）中所得概率
的值构成数列．①求
的最值；②数列收敛的定义：已知数列
，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列收敛．参考公式：
，．
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2024-05-07更新
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1681次组卷
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3卷引用：东北三省四市教研联合体2024届高考模拟（一）数学试卷
8 . 已知双曲线：
的实轴长为
，右焦点
到一条渐近线的距离为1．
(1)求的方程；
(2)过上一点
作的切线
，与的两条渐近线分别交于R，S两点，
为点
关于坐标原点的对称点，过作的切线
，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形
的面积．
(3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为
，
，是否存在点Q，满足
，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．(1)求
的方程；(2)过
上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．(3)过
上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
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2024-05-07更新
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864次组卷
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2卷引用：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2024届高三下学期第四次模拟数学试卷
名校
解题方法
9 . 在平面直角坐标系中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线
，是曲线上一点．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为
的直线与曲线交于，两点，若
且直线
与直线
交于点，求
的值．
中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点．(1)求曲线
的方程；(2)过点
且斜率为的直线与曲线交于，两点，若且直线与直线交于点，求的值．
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10 . 已知函数
．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数
有
个零点，求的范围
(3)若函数
在处取得极值，且存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
．(1)讨论函数
的单调性；(2)若函数
有个零点，求的范围(3)若函数
在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
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2024-05-04更新
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473次组卷
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2卷引用：黑龙江省大庆市大庆中学2024届高三下学期5月期中数学试题
