1 . 如图，于于F，若，

   

(1)求证：平分；
(2)已知，求的长．

2 . 探究与证明
旋转是几何图形运动中的重要变换，数学探究课上，兴趣小组的同学以直角三角形为背景，借用教具或电脑软件工具进行数学实验，探究几何图形运动变化中的数学结论．

   

(1)实验发现：是任意直角三角形，．将绕顶点B顺时针旋转得到，旋转角为，直线交直线于点F．当点E落在边上时（如图1），猜想与数量关系为______；继续旋转，当时（如图2），判断四边形的形状为______．
(2)深入探究；在（1）中图2的基础上，将绕点B逆时针旋转，旋转角为，当时（如图3），直接写出，，的数量关系为______；继续旋转，当时（如图4），请写出线段，，的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的基础上，当时，若，，请直接写出的长．

3 . 如图所示，已知在中，交于点，若，则（　　）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F．

(1)求证：；
(2)若与交于点O，求证：．

5 . 如图，将面积为的正方形绕点A逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图中，，平分交于点，以点D为圆心，为半径作交于点．

(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．

7 . 动手操作：
人教版八年级下册课本第64页安排这样的数学活动：折纸作，，角．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：
如图（1），对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；（2）再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．

观察猜想：
（1）图中等于的角是_________（写出一个角即可）；等于的角是_________（写出一个角即可）．
推理验证：
（2）对上述猜想结论给予证明．
拓展延伸：
（3）将矩形纸片换成正方形纸片，按以上步骤折叠，并延长交于点，连接得到图②，，求的长．

8 . 如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F．

【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得．
【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长．

9 . 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1)【探究发现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接．根据以上操作，当点M在上时，____________；
(2)【类比应用】
如图2，小李将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
(3)【拓展延伸】
如图3，在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点重合），当时，请直接写出的长．

10 . 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接；
操作二：在上选一点E，沿折叠，使点B落在矩形内部点F处，把纸片展平，连接、和．
根据以上操作，当点F在上时，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图1中所有的角是　　　　．
(2)迁移探究
小棋同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，如图2，改变点E在上的位置（点E不与点B，C重合），并延长交于点G，连接，求的度数．