1 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，，将沿翻折得到，直线交于点，直接写出的长为         ．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ______．

3 . 如图，在中，．

(1)尺规作图：在的上方作一点C，使得 ，并且最大；
(2)求（1）中的面积．

4 . 如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是_______．

5 . 如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______．

6 . 在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求证：平分．

7 . 如图，四边形是平行四边形，点E是边的中点，延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．

8 . 如图，正方形的边长为7，以点B为圆心为半径画弧，点E在弧上，在线段上取一点F，使得，连接，则的最小值为________．

   

9 . 如图，是的直径，点在直径上与，不重合），，且，连接，与交于点，在上取一点，使得与相切．

(1)求证：；
(2)若是的中点，，求的长．