1 . 设数阵
，其中
.设
，其中
，
且
.定义变换
为“对于数阵的每一列，若其中有t或
，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以
”（
），
表示“将
经过
变换得到
，再将经过
变换得到
，…，以此类推，最后将
经过
变换得到
.记数阵中四个数的和为
.
(1)若
，
，写出经过
变换后得到的数阵，并求的值；
(2)若，
，求的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不大于
.
，其中.设，其中，且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有t或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以”（），表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.(1)若
，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；(2)若
，，求的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵
，证明：的所有可能取值的和不大于.
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解题方法
2 . 已知抛物线
的焦点为
，抛物线
的焦点为
，
，A，B，C为
上不同的三点.
(1)求
的标准方程；
(2)若直线
过点，且斜率
，求
面积的最小值；
(3)若直线
，
与相切，求证：直线也与相切.
的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点.(1)求
的标准方程；(2)若直线
过点，且斜率，求面积的最小值；(3)若直线
，与相切，求证：直线也与相切.
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3 . 如图，在五面体
中，底面
是菱形，
，
.
；
(2)
，M是
的中点，O为
的中点，
且
，
.
①求证：
平面；
②求直线
与平面
所成角的正弦值.
中，底面是菱形，，.
；(2)
，M是的中点，O为的中点，且，.①求证：
平面；②求直线
与平面所成角的正弦值.
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解题方法
4 . 某商场为调查手机卖场各品牌手机在晚上19：30到21：00时段的销售情况，随机抽取了某一周该时段的销售数据，并要求每个品牌只抽取一个款式的手机，且不考虑价格波动.
销售利润率是指：一部手机销售价格减去出厂价格得到的利润与该手机销售价格的比值.
(1)从该公司本周该时段卖出的手机中随机选一部，求这部手机利润率高于0.07的概率；
(2)从该公司本周该时段卖出的销售单价为4800元的手机中随机选取2部，求这两部手机的利润率不同的概率；
(3)销售一部步步高手机获利
元，销售一部三星手机获利
元，…，销售一部vivo手机获利
元，依据上表统计数据，随机销售一部手机获利的期望为
，设
，试判断与
的大小.
| 手机品牌 | 步步高 | 三星 | 华为 | 苹果 | vivo |
| 销售总额（万元） | 1.92 | 1.8 | 4.8 | 4.8 | 2.52 |
| 销售量 | 4 | 3 | 10 | 6 | 7 |
| 销售利润率 | 0.1 | 0.07 | 0.06 | 0.05 | 0.08 |
(1)从该公司本周该时段卖出的手机中随机选一部，求这部手机利润率高于0.07的概率；
(2)从该公司本周该时段卖出的销售单价为4800元的手机中随机选取2部，求这两部手机的利润率不同的概率；
(3)销售一部步步高手机获利
元，销售一部三星手机获利元，…，销售一部vivo手机获利元，依据上表统计数据，随机销售一部手机获利的期望为，设，试判断与的大小.
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5 . 设函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
内单调递增，求k的取值范围.
.(1)若
，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数
在区间内单调递增，求k的取值范围.
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名校
6 . 设函数
的两个极值点分别为
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求正数
的取值范围（其中
为自然对数的底数）．
的两个极值点分别为．(1)求实数
的取值范围；(2)若不等式
恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
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7 . 唐诗是中国古典文化最灿烂的瑰宝之一.2023年7月8日，电影《长安三万里》上映以来，全国掀起了诗词背诵的狂潮，在电影院背诗成了当下最常见的现象，某诗词协会为了了解观众对影片中出现的48首唐诗的熟悉情况（若会背诵其中40首唐诗为极熟悉，否则为不太熟悉），在影片放映结束后，随机抽取了200位观众进行调查，得到如下2×2列联表：
附：
，
.
(1)补全2×2列联表
(2)是否有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关?
(3)按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查，随后再从这6人中抽取3人进行唐诗接力赛，记3人中年龄超过30岁的人数为X，求X的分布列与均值
| 对48首唐诗极熟悉 | 对48首唐诗不太熟悉 | 总计 | |
| 不超过30岁 | 80 | 120 | |
| 超过30岁 | 40 | ||
| 总计 |
，. | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)是否有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关?
(3)按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查，随后再从这6人中抽取3人进行唐诗接力赛，记3人中年龄超过30岁的人数为X，求X的分布列与均值
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名校
解题方法
8 . 已知函数
.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：
.
.(1)求函数
的最小值；(2)求证：
.
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9 . 椭圆
：
的离心率为
，圆
：
的周长为
．
(1)求的方程；
(2)如图，是的左焦点，过的直线交圆O于点M，N，线段
的垂直平分线交C于点P，Q，交于点A．
（i）证明：四边形
的面积为定值．
（ii）记
，
的面积分别为
，
，求
的取值范围．
：的离心率为，圆：的周长为．(1)求
的方程；(2)如图，
是的左焦点，过的直线交圆O于点M，N，线段的垂直平分线交C于点P，Q，交于点A．（i）证明：四边形
的面积为定值．（ii）记
，的面积分别为，，求的取值范围．
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2024-06-05更新
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256次组卷
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2卷引用：辽宁省辽阳市辽阳县辽阳石油化纤公司高级中学2024届高三下学期模拟考试数学试题
名校
10 . 矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足
，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设
，
(1)当△APR是等腰三角形，求
；
(2)当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：
；
(3)当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求
的最大值.
，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设，(1)当△APR是等腰三角形，求
；(2)当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：
；(3)当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求
的最大值.
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