1 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

2 . 如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面平面；
(3)设点在棱上，，求二面角的正弦值．

3 . 已知，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；
(3)设，若存在，使得，证明：．

4 . 已知函数，．
(1)若，求在区间上的最大值；
(2)若关于的方程有且只有三个实数根，，，且．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．

5 . 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，.

(1)求证：平面；
(2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值.

6 . 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用． 某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表． ”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．

(1)求图中的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；
(2)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．

7 . （1）求值：；
（2）设，，试用，表示.

8 . 已知的三个顶点分别为.
(1)求的面积；
(2)求的外接圆的方程.

9 . 已知函数．
(1)求函数的最小值及取最小值时的自变量的集合；
(2)说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到．

10 . 已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值．