1 . 已知数列的前项和为.若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，-1，1，试判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)若，证明为“数列”，并求它的“余项数列”的通项公式.

2 . 如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q．

(1)求C的方程；
(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设S₁，S₂分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围．

3 . 已知正的边长为1，中心为，过的动直线与边分别相交于点．

(1)若，求．
(2)求与的面积之比的最小值．

4 . 已知向量反向，
(1)求向量的坐标．
(2)若，求．

5 . 如图，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC=3，BC=2，AA₁=，BB₁=2，点E和F分别为BC和A₁C的中点．

(1)求证：EF∥平面A₁B₁BA；
(2)求证：直线AE⊥平面BCB₁；

6 . 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
（注：若总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总样本的平均数为，样本方差为．则样本方差）

7 . 已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证：.

8 . 某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．

(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；
(2)如何设计与的长度，使得最大？

9 . 如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，，且，、分别是、的中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.

10 . 已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且.
(1)求，的解析式；
(2)若，解关于x的不等式.