1 . 已知数列满足，且，其前项和记为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和记为，求证：.

2 . 某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
(1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；
(2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？

4 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．

5 . 设．
(1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数．
(2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；
②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．

8 . 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，
①求证：；
②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.

9 . 已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式与单调增区间；
(2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值.

10 . 已知函数在区间上的最小值为3.
(1)求常数的值；
(2)当时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数，求函数的单调递减区间、对称中心.