1 . 如图，四棱锥中，底面是矩形，，.为上的点，且平面；

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.

2 . 已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为．
(1)求和，并求时的表达式；
(2)令，数列的前项和为，求证：．

3 . 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“疏远”的．
(1)已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
(2)若函数和在上是“疏远”的，求实数a的取值范围；
(3)已知常数，若函数与在上是“疏远”的，求实数c的取值范围．

4 . 已知椭圆的左顶点为，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设过点的直线与椭圆交于（异于两点）两点，直线，分别与轴交于三点.证明：是线段的中点.

5 . 如图，在四棱锥中，平面是棱的中点.

(1)证明：平面.
(2)若，点在棱上，求平面与平面夹角的余弦值的最小值.

6 . 已知函数，
(1)判断函数在上的单调性并证明；
(2)若集合，对于都有，求实数的取值范围．

7 . 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值．

8 . 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2．

(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；
(2)若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．

9 . 已知函数．
(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点；
(2)证明：对任意的，；
(3)若恒成立，求a的取值范围．

10 . 已知数列中，，其前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列的前n项和为，求证：.