1 . 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点
，定点
、
，连结
．_________ ；（填“是”或“否”）
（2）若点P只是在第一象限内运动，过点P作
于Q，当
取得最大值时，点P的坐标是________ ．
，定点、，连结．
（2）若点P只是在第一象限内运动，过点P作
于Q，当取得最大值时，点P的坐标是
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2024-04-08更新
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71次组卷
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2卷引用：江苏省无锡市宜兴市桃溪中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题
2 . 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成下列任务．
任务：
(1)对于函数
，当
等于___________时，函数
有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(2)对于函数
，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________；
(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃
的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题．
请阅读下列材料，并完成下列任务．
| 问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于  ，故 ，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究．探索发现：      发现结论：如果  ，那么 （当且仅当 时等号成立）解释证明： 当  时，   当 时，   如果，那么（当且仅当时等号成立） |
(1)对于函数
，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；(2)对于函数
，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________；(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当
长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题．
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3 . 如图，在平而直角坐标系中，二次函数
的图象与轴分别交于点
，顶点为
．连接
，将线段绕点
按顺时针方向旋转
得到线段
，连接
．点
分别在线段
上，连接
与交于点
．，的坐标；
(2)随着点
在线段上运动．
①
的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段
的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
，的坐标；(2)随着点
在线段上运动．①
的大小是否发生变化？请说明理由；②线段
的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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4 . 在
中，
，
是锐角，若
，且
，则面积的最大值是（ ）
中，，是锐角，若，且，则面积的最大值是（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
5 . 如图，二次函数
的图像与坐标轴分别交于点、、
，
，
．
(1)求二次函数表达式；
(2)在第二象限内，线段上有一点
，作
平行于轴，交二次函数图像于点
、
（点在轴左侧），作点
与点关于轴对称．
①证明：四边形
为平行四边形；
②若
是以为斜边的直角三角形，求点的横坐标；
③直角坐标系内存在点
，使得四边形
为平行四边形，请直接写出与的函数表达式，并求当线段的长度最大时，点的坐标．
的图像与坐标轴分别交于点、、，，．(1)求二次函数表达式；
(2)在第二象限内，线段
上有一点，作平行于轴，交二次函数图像于点、（点在轴左侧），作点与点关于轴对称．①证明：四边形
为平行四边形；②若
是以为斜边的直角三角形，求点的横坐标；③直角坐标系内存在点
，使得四边形为平行四边形，请直接写出与的函数表达式，并求当线段的长度最大时，点的坐标．
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解题方法
6 . 在平面直角坐标系中，一次函数
的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像
经过点A、B．
(2)如果
，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使
．
①求点P的坐标；
②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．
(2)如果
，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．①求点P的坐标；
②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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名校
7 . 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线
与x轴分别交于点
和点
，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．
(1)写出抛物线的对称轴为直线_______，抛物线的函数关系式为______；
(2)如图2，连结AC，若P在AC上方，作
轴交AC于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为
，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值；(3)若P在
上方，设直线
，
与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
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8 . 如图，在
中，
，是边上任意一点，分别做点关于，的对称点，
，以
，
为邻边作
，边
交于点，则
的最小值为
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9 . 如图，抛物线
过
，
两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，且位于的上方，当
的面积为6时，求点的坐标；
(3)过作
于，连接
，点
是抛物线上一点，当
时，请求出此时点的坐标．
过，两点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点
是抛物线上一点，且位于的上方，当的面积为6时，求点的坐标；(3)过
作于，连接，点是抛物线上一点，当时，请求出此时点的坐标．
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10 . 综合与探究
如图，正方形中，
为边上异于
的一动点，为边
上一点，
为线段
上的动点，
于，
于
．
(1)求证：
；
(2)若为中点，设
为．
①求
的长（用含的代数式表示）；
②求四边形
面积的最大值；
(3)当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大．
如图，正方形
中，为边上异于的一动点，为边上一点，为线段上的动点，于，于．(1)求证：
；(2)若
为中点，设为．①求
的长（用含的代数式表示）；②求四边形
面积的最大值；(3)当
点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大．
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