1 . 已知定义在R上的函数的图象关于原点对称，且时，取得极小值.
（1）求的解析式；
（2）当时，函数图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）设时，求证：|．

2 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

3 . 已知函数．
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)已知是的两个零点，证明：．

4 . 已知函数的定义域为，且满足对任意，，有.
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明你的结论；
(3)当时，，解不等式.

5 . 已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设，是函数的两个极值点，证明：．

6 . 已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）
(1)求m；
(2)证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点；
(3)若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．

7 . 已知函数．
(1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
(2)设，证明：．

8 . 已知，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设表示不超过x的最大整数，证明：，．

9 . 已知数列满足，且．
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．

10 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
(1)求的方程；
(2)若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.