名校
1 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
和t，使得
成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”．
(1)试分别判断函数
，
和
，
是不是“卓然”函数？并说明理由；
(2)若
是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；
(3)证明：
是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”．(1)试分别判断函数
，和，是不是“卓然”函数？并说明理由；(2)若
是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；(3)证明：
是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
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名校
解题方法
2 . 如图，多面体
是由一个正四棱锥
与一个三棱锥
拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为
，且
．
上找一点
，使得平面
平面
，并给出证明；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
上找一点，使得平面平面，并给出证明；(2)若
，求直线与平面所成角的正弦值．
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真题
3 . 对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小值的点，则称
是
在的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线
与
在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数
，且函数 
在定义域R上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点同时是
在的“最近点”，试判断的单调性．
和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．(1)对于
，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；(2)对于
，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；(3)已知
在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
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名校
解题方法
4 . 如图所示，在四棱锥
中，四边形
为直角梯形，
，
，
是等边三角形，
为线段
的中点，
．
平面
；
(2)若
为线段
上的一点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值．
中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，．
平面；(2)若
为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
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5 . 已知数列
满足：
，且
，
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若
，求
的值.
满足：，且，.(1)证明：数列
是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若
，求的值.
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6 . 如图，在三棱锥
中，
，
，点O是AC的中点．
平面ABC；
(2)点M在棱BC上，且
，求二面角
的大小．
中，，，点O是AC的中点．
平面ABC；(2)点M在棱BC上，且
，求二面角的大小．
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7 . 已知抛物线
的焦点为F，过点
的直线l与
交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为
，
，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P．的斜率，并证明
；
(2)证明：点P必在直线
上；
(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标．
的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P．
的斜率，并证明；(2)证明：点P必在直线
上；(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标．
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解题方法
8 . 已知数列满足
，
（
，
）.又数列满足
.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列是严格增数列，求
的取值范围.
满足，（，）.又数列满足.(1)求证：数列
是等比数列；(2)若数列
是严格增数列，求的取值范围.
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解题方法
9 . 已知数列满足：①
；②当
时，
；③当
时，
，记数列的前项和为
.
(1)求
的值；
(2)若
，求的最小值；
(3)求证:
的充要条件是
.
满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为.(1)求
的值；(2)若
，求的最小值；(3)求证:
的充要条件是.
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解题方法
10 . 已知椭圆
，设过点
的直线
交椭圆
于M，N两点，交直线
于点，点为直线
上不同于点
的任意一点.的离心率为
，求
的值；
(2)若
，求的取值范围；
(3)若
，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，问是否存在，，的某种排列
，
，
（其中
，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
的离心率为，求的值；(2)若
，求的取值范围；(3)若
，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
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