1 . 已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，离心率，点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设是双曲线上任意一点，且在第一象限，直线与的倾斜角分别为，，求的值.

2 . ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%.
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.

3 . 已知函数.
(1)当时，求函数在的最小值和最大值；
(2)讨论函数的单调性.

4 . 已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．

5 . 已知函数．

(1)求曲线与轴、直线，所围成的图形的面积．
(2)求曲线与直线，及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积．

6 . 已知，.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.

7 . 设函数，是函数的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，试判断在区间上的零点的个数；
(3)若在上恒成立，求a的取值范围．

8 . 已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

9 . 已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.

10 . 已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前10项和.