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1 . 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式
，其中
为悬链线系数，
称为双曲余弦函数，其函数表达式
，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为
．
(1)证明：①
；
②
．
(2)求不等式：
的解集．
(3)已知函数
存在三个零点，求实数
的取值范围．
，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．(1)证明：①
；②
．(2)求不等式：
的解集．(3)已知函数
存在三个零点，求实数的取值范围．
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2 . 已知
(1)当
时，求
在
处切线方程；
(2)若
在
恒成立，求的取值范围；
(3)求证：
．
(1)当
时，求在处切线方程；(2)若
在恒成立，求的取值范围；(3)求证：
．
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解题方法
3 . 现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个盒子，Ⅰ号盒中有2个白球和3个黑球；Ⅱ号盒中有2个白球和2个黑球；Ⅲ盒中有3个白球和1个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1个球放入Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1个球放回Ⅰ号盒中．
(1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率；
(2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？
(1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率；
(2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？
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解题方法
4 . 已知函数
，其中
．
(1)直接写出
的单调区间；
(2)若当
时，
恒成立，求的取值范围；
(3)证明：
．
，其中．(1)直接写出
的单调区间；(2)若当
时，恒成立，求的取值范围；(3)证明：
．
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解题方法
5 . 已知双曲线
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线
与的右支及渐近线的交点自上而下依次为
，证明：
；
(3)求二元二次方程
的正整数解
，可先找到初始解
，其中
为所有解
中的最小值，因为
，所以
；因为
，所以
；重复上述过程，因为
与
的展开式中，不含
的部分相等，含的部分互为相反数，故可设
，所以
.若方程的正整数解为，则
的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线
的标准方程；(2)若直线
与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；(3)求二元二次方程
的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
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6 . 帕德近似（Pade approximation）是法国数学家帕德（Pade）于l9世纪末提出的，其基本思想是将一个给定的函数表示成两个多项式之比的形式，具体是：给定两个正整数m，n，函数在
处的
帕德近似为
，其中
，
，
，…，
（
为
的导数）．已知函数
在处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：当
时，
；并比较
与
的大小．
在处的帕德近似为，其中，，，…，（为的导数）．已知函数在处的阶帕德近似为．(1)求实数a，b的值；
(2)证明：当
时，；并比较与的大小．
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解题方法
7 . 在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合
，这样的点共有n个.
(1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；
(2)求这n个点能确定的直线的条数；
(3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数.
，这样的点共有n个.(1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；
(2)求这n个点能确定的直线的条数；
(3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数.
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130次组卷
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2卷引用：重庆市第四十九中学校、江津第二中学校等九校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
解题方法
8 . 已知双曲线
的左､右顶点分别为
，右焦点为
，一条渐近线的倾斜角为
的离心率为
在
上.
(1)求的方程；
(2)过的直线交于
两点（
在
轴上方），直线
分别交
轴于点
，判断
（
为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上.(1)求
的方程；(2)过
的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
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9 . 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为
，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为
.记甲乙两人的答题总次数为
.
(1)求P；
(2)当
时，求甲得分X的分布列及数学期望；
(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为
，证明：
.
，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.(1)求P；
(2)当
时，求甲得分X的分布列及数学期望；(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为
，证明：.
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256次组卷
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2卷引用：江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期5月学情调研数学试卷
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解题方法
10 . 已知函数
．
(1)
在定义域内单调递减，求的范围；
(2)讨论函数在定义域内的极值点的个数；
(3)若函数在处取得极值，
恒成立，求实数的取值范围．
．(1)
在定义域内单调递减，求的范围；(2)讨论函数
在定义域内的极值点的个数；(3)若函数
在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围．
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