1 . 已知函数有且仅有两个零点､
(1)求的取值范围；
(2)函数，若与的值域相同，求的值，并证明：

2 . 现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个盒子，Ⅰ号盒中有2个白球和3个黑球；Ⅱ号盒中有2个白球和2个黑球；Ⅲ盒中有3个白球和1个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1个球放入Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1个球放回Ⅰ号盒中．
(1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率；
(2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？

4 . 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
(1)已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
(2)已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．

5 . 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为．
(1)求的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求；
(3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程．

6 . 已知抛物线，直线与交于，两点，且．
(1)求的值；
(2)过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点；
(3)直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值．

7 . 设，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为，．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，，，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心
（ⅰ）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
（ⅱ）求点到直线的距离的最小值．

8 . 给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数.
(1)设向量分别为函数与函数的特征向量，求；
(2)设向量的特征函数为，且，，求的值；
(3)已知分别为三个内角的对边，，设函数 的特征向量为，且，分别是边的中点，求的取值范围．

9 . 某校数学兴趣小组由水平相当的位同学组成，他们的学号依次为．辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的.挑战的具体规则如下：
①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战：
④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功，挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；
⑤若挑战进行到了第轮，则不管第号同学答对多少题，下轮不再安排同学.
(1)令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列；
(2)若把挑战规则①换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．
令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列．

10 . 已知函数，且．
(1)若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程
(2)讨论函数的单调性和极值情况
(3)在曲线上至少存在一个整数，使得它对应的点在x轴的上方，求a的取值范围.