1 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若P点坐标为，过原点的直线分别交曲线C于A、B两点，求面积的最大值．

2 . 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
   
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)估计该组测试成绩的第57百分位数；
(3)该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求．

3 . 如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点．
   
(1)求A₁到平面C₁EF的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值

4 . 已知全集为R ，集合，．
(1)求， ；
(2)若，且，求实数的取值范围．

5 . 已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间：
(2)设锐角，为的中点，若，且，求的取值范围．

6 . 如图，点为抛物线上位于第一象限的一点，F为抛物线焦点，满足．
   
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M为直线上的动点，H为点E关于x轴的对称点，连接、分别交C于点A、B，连接交直线l于点N．
①求证：直线过定点；
②求证：以为直径的圆过定点．

7 . 设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足．
   
(1)求C的离心率；
(2)若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由．

8 . 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面⊥面，且，点在棱上．

(1)证明：当时，直线平面；
(2)当时，求二面角的余弦值．

9 . 已知函数在定义域内有两个不同的零点，．
(1)求证：
(2)已知，若存在，不等式对任意的总成立，求的取值范围．