1 . 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．

证明：在和中，

∴
∴____________

2 . 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．
求证：（1）；
（2）四边形AEFD是平行四边形．

3 . 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且．连接，，，．
（1）证明：．
（2）若，，求四边形的周长．

4 . 三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A.LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角．

（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若的面积为，求的面积．

5 . 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
   
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．

6 . 如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于69°，则的度数为______°．

7 . 已知：如图，点D在上，点E在上，．

求证：．

8 . 如图，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，则与的数量与位置关系为______．

9 . 已知：在中，，交于D．平分交于O，过O点作交于E．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．