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解题方法
1 . 在锐角
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
．
(1)求证：
；
(2)若
，求a边的范围；
(3)求
的取值范围．
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求证：
；(2)若
，求a边的范围；(3)求
的取值范围．
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2 . 如图，已知等腰梯形
中，
，
，
是
的中点，
，将
沿着
翻折成
，使
平面
.
平面
；
(2)求
与平面
所成的角；
(3)在线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
平面；(2)求
与平面所成的角；(3)在线段
上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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2062次组卷
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6卷引用：【北京专用】高一下学期期末模拟测试B卷
（已下线）【北京专用】高一下学期期末模拟测试B卷（已下线）【江苏专用】高一下学期期末模拟测试B卷湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题（已下线）高一期末模拟试卷01-《期末真题分类汇编》(北师大版（2019）)广州市南武中学2023-2024学年高一下学期综合训练（二）段考考试数学试题广东省东莞市海逸外国语学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题
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3 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
为
的中点.
；
(2)设为
的中点，在棱
上，满足
平面
，求
与平面所成角的正弦值.
中，，，，为的中点.
；(2)设
为的中点，在棱上，满足平面，求与平面所成角的正弦值.
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252次组卷
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4卷引用：【北京专用】高二下学期期末模拟测试B卷
4 . 已知函数
为奇函数，函数
．
(1)若
的最小正周期为
，求出
与
的值；
(2)若在区间
上有且仅有4个最值点，求的取值范围；
(3)在（1）的条件下，求
的最大值以及取得最大值时x的集合．
为奇函数，函数．(1)若
的最小正周期为，求出与的值；(2)若
在区间上有且仅有4个最值点，求的取值范围；(3)在（1）的条件下，求
的最大值以及取得最大值时x的集合．
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5 . 在机器学习中，精确率
、召回率
、卡帕系数
是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，
表示事件“选到的位点实际有雷”，
表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率
，召回率
，卡帕系数
，其中
．
(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．
(2)对任意一次测试，证明：
．
(3)若
，则认为机器人的检测效果良好；若
，则认为检测效果一般；若
，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中．(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率
和召回率．| 实际有雷 | 实际无雷 | 总计 | |
| 检测到有雷 | 40 | 24 | 64 |
| 检测到无雷 | 10 | 26 | 36 |
| 总计 | 50 | 50 | 100 |
(2)对任意一次测试，证明：
．(3)若
，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
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6 . 已知椭圆
的离心率为
，且过点
．圆
的切线l与椭圆E相交于A，B两点．
(2)直线OA，OB的斜率存在为
，
，直线l的斜率存在为k，若
，求直线l的方程；
(3)直线OA，OB与圆的另一个交点分别为C，D，求
与
的面积之和的取值范围．
的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点．
(2)直线OA，OB的斜率存在为
，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程；(3)直线OA，OB与圆
的另一个交点分别为C，D，求与的面积之和的取值范围．
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2024-06-01更新
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513次组卷
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3卷引用：【北京专用】高二下学期期末模拟测试B卷
2024高三·全国·专题练习
7 . 已知
，函数
有两个零点，记为
，
．
(1)证明：
．
(2)对于
，若存在
，使得
，求证：
．
，函数有两个零点，记为，．(1)证明：
．(2)对于
，若存在，使得，求证：．
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8 . 已知向量
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，函数
；
（ⅰ）求
的值域.
（ⅱ）当取最小值时，求与
垂直的单位向量
的坐标.
，.(1)若
，求；(2)若
，函数 ；（ⅰ）求
的值域.（ⅱ）当
取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标.
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9 . 已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，
，
；
，
，
.记总样本的平均数为
，样本方差为
.
(1)试证明：
；
(2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差.
，，；，，.记总样本的平均数为，样本方差为.(1)试证明：
；(2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差.
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名校
解题方法
10 . 如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
平面，且
，点为线段的中点.
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求三棱锥
的体积.
中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
平面；(2)求证：
平面；(3)求三棱锥
的体积.
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2024-05-12更新
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3418次组卷
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11卷引用：【全国市级联考】北京市西城区2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题
【全国市级联考】北京市西城区2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题北京市第八中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试卷江苏省南通市2019-2020学年高二上学期期初调研测试数学试题（已下线）6.6简单几何体的再认识-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册）（已下线）核心考点5 立体几何中的位置关系 B提升卷 （高一期末考试必考的10大核心考点）广东省深圳市深圳大学附属中学、龙城高级中学第二次段考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题陕西省商洛市洛南中学2024届高三第十次模拟预测文科数学试题陕西省西安市南开高级中学2023-2024学年高一下学期五月月考数学试卷广东省东莞市东莞中学松山湖学校2023-2024学年高一下学期第二次段考数学试题浙江省杭州市联谊学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
