1 . 如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．

(1)求证：；
(2)试利用这个图形证勾股定理．

2 . 如图，已知，，，求证：．

3 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
(1)求证：
证明：延长AD到点E，使
在和中
（已作），
（______），
（中点定义），
∴（______），
(2)探究得出的取值范围是______；（直接写出结果即可）
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
(3)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．

4 . 如图，为线段上一点，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．

5 . 在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转.

(1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；
(2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2.
①求证：四边形为菱形；
②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积．

6 . 如图，在和中，，点C在上．

(1)求证：．
(2)若，则______．

7 . 如图:，欲证，则可增加的条件是（       ）．

A．	B．
C．	D．

8 . 命题：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等，上述命题是一个几何真命题．将其改写成己知、求证的形式，画出图形(如图)，请根据该真命题的内容完成下述填空并给出完整的证明过程．

已知：如图，在与中，，，分别为边、边上的高，_________．
求证：__________________．

9 . 如图（1），已知等边，点D，E分别是边，上的点，且，连接，交于点P．

(1)求证：；
(2)如图（2）连接，若点P恰好落在以为直径的圆上，求的度数；
(3)在条件（2）下，求的值．

10 . 如图，已知点，，，在同一直线上，，，．请你判断和的位置关系，并说明理由．