1 . 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹推断，若的周长为，则的面积是_____．

   

2 . 如图，在中，，点E是边上一动点，过点E作交边于点D，将沿直线翻折，点A落在线段上的F处，连接，当为等腰三角形时，的长为 _______．

   

3 . 如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、．

(1)如图2，当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分；
(3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

5 . 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是__________°．

6 . （1）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于，于．求证：；
（2）如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交、、、于点、、、．求证：；
（3）在（2）的条件下，若正方形的边长为，则线段的最大值_______．

7 . 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（　　）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，在中的垂直平分线，相交于点，若，则的度数为（     ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在菱形纸片中，．

（1）________．
（2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为________．

10 . 探索与发现
【操作发现】甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：

如图1，在中，点是的中点，点是边上一点，连接． 甲同学：延长至点，使，连接，如图2所示． 是的中点，． 又，，．（依据1：______） 乙同学：过点作的平行线交的延长线于点，如图3所示． ，． 又，，．（依据2：______）

（1）上述过程中的依据1是______，依据2是______．（填“”“”或“”）
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图4，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接．
（2）求证：．
（3）若，则线段、、之间的等量关系为______．
【拓展应用】
（4）如图5，在中，，，以为顶点作，使，，，连接，为线段的中点．将绕点在平面内旋转，当时，请直接写出线段的长．