20. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏,投壶礼来源于射礼.投壶的横截面是三个圆形,投掷者站在距离投壶一定距离的远处将箭羽投向三个圆形的壶口,若箭羽投进三个圆形壶口之一就算投中.为弘扬中华传统文化,某次文化活动进行了投壶比赛,比赛规定投进中间较大圆形壶口得
分,投进左右两个小圆形壶口得
分,没有投进壶口不得分.甲乙两人进行投壶比赛,比赛分为若干轮,每轮每人投一支箭羽,最后将各轮所得分数相加即为该人的比赛得分,比赛得分高的人获胜.已知甲每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为
,投进入左右两个小壶口的概率都是
,乙每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为
,投进入左右两个小壶口的概率分别是
和
,甲乙两人每轮是否投中相互独立,且两人各轮之间是否投中也互相独立.若在最后一轮比赛前,甲的总分落后乙
分,设甲最后一轮比赛的得分为
,乙最后一轮比赛的得分为
.
(1)求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率;
(2)求
的数学期望.