1 . 实践与探究：

【操作一】：如图①，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点．求证：；

【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕上时，     ；

【拓展】：如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点N为上任意一点，连接、．若，则的最小值为     ．

2 . 如图，四边形是矩形，直线垂直平分线段，垂足为点，直线分别交线段，的延长线交于点、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则的长为______ ．

3 . 【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：；
【应用】（1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是                  ；
（2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为               ．

   

4 . 如图，直线与坐标轴交于、两点，点为轴负半轴上一点，．则点的坐标是______．

5 . 如图，在中，点E，F分别在，上，且，与交于点O．求证：．

6 . 如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则__________．

7 . 在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，四边形的面积为      ．

8 . 如图，在四边形中，，E为上一点，且，，，求证：四边形为平行四边形．

9 . 解答

（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．

（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为         ．

（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．

i．如图②，连结，当时，求的面积．

ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．

10 . 如图，在正方形中，对角线与交于点，将正方形折叠，使点落在对角线上的点处，连结，与折痕交于点，折痕交于点．

求证：．