1 . 如图，在中，与交于点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补．

（1）观察猜想
若四边形是正方形，则线段与有何数量关系？请直接写出结论．
（2）延伸探究
若四边形是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展证明
若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论．

2 . 问题探究
（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接．
①请探究与之间的位置关系；
②若，则线段的长为_________．
   
拓展延伸
（2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接．当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段的长．

3 . 完成下列各题：（1）证明推断，如图，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，．

①求证：．
②推断：的值为__________．
（2）类比探究，如图，在矩形中，m为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H．连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用，在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

4 . （1）【问题发现】
如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：①线段与的数量关系为______；
②直线与所夹锐角的度数为_______．
（2）【拓展探究】
如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）【解决问题】
如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．

5 . 如图1，在中，，点P在斜边上，点D､E､F分别是线段､､的中点，易知是直角三角形．现把以点P为中心，顺时针旋转，其中．连接､､．

（1）操作发现
如图2，若点P是的中点，连接，可以发现____________；
（2）类比探究
如图3，中，于点P，请判断与的大小，结合图2说明理由；
（3）拓展提高
在（2）的条件下，如果，且，在旋转的过程中，当以点C､D､F､P四点为顶点的四边形与以点B､E､F､P四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段､､的长．

6 . 定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
【概念感知】
（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

【问题探究】
（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．
【拓展提升】
（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．
①当时，则_________；
②如图4，当点B落在直线上时，求的值．

7 . 【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；
【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为____________；
【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则=____________．

8 . （1）初步探究：如图（1），点、分别在正方形边、上，于点，小芳看到该图后，发现，这是因为和都是的余角，就会由______判定得出______≌______．
（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形是矩形，如图，且于点，她发现，请你替她完成证明．
（3）拓展延伸：如图（3），若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．

9 . 问题背景
在中，，，，点、分别是边、上的动点，设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为．
初步思考
（1）如图1，过点作的垂线，垂足为，连结、．当时，________；
深入探究
（2）如图2，若于，以，为邻边作平行四边形，当时，是否存在，使得平行四边形的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

拓展延伸
（3）如图3，连接、交于点，若，且满足，判断是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．

10 . 如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，

（1）问题发现的值为_______；
（2）探究与证明：将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为_______．