1 . 【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S₁，△DBF的面积为S₂，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．

2 . 问题发现：（1）如图1，与同为等边三角形，连接则与的数量关系为________；直线与所夹的锐角为_________；
类比探究：（2）与同为等腰直角三角形，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：（3）中，为的中位线，将绕点逆时针自由旋转，已知，在自由旋转过程中，当在一条直线上时，请直接写出的值．

3 . 定义：有一个角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”；如下图中的四边形和都是“嵌套四边形”．
【问题猜想】

（1）如图1，嵌套四边形和都是正方形，现把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，连接、交于点O，则与的数量关系是______，位置关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，将（1）中的嵌套四边形和换成菱形，，其它条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，将（1）中的嵌套四边形和换成长和宽之比为的矩形，旋转角换成，其它条件不变，求出与的数量关系和位置关系．

4 . 综合与实践—四边形旋转中的数学
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
问题情境：如图1，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，四边形为矩形，连接．

特例分析：（1）请直接写出的长是________．
（2）如图2，当矩形绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边上时，请计算与的长，通过计算，试猜想与之间的数量关系．
深入探究：（3）请从下面A、B两题中任选一题作答．我选择________题
A．当矩形绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中与之间的数量关系是否还成立？请说明理由．
B．“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在中，，，，E，F分别为，边的中点，四边形为平行四边形，连接．“智慧”数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系．如图5，当绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，与是否还存在着第（2）问中特定的数量关系？请说明理由．

5 . 下图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容．
(1)【教材呈现】

根据教材内容，结合图①，给出例1的完整计算过程．
(2)【感知探究】如图②，是△的中线，连结并延长，交于点，＝，若＝2，则＝          ．
(3)【应用拓展】如图③，在△中，点为边上的一点，且＝，在射线上取一点，使＝，连结并延长交射线于点，若．请直接写出四边形的面积．

6 . 如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，点在边上，且，点为的中点，过点作交于点，点为的中点将绕点顺时针旋转，旋转角为，连接．　
（1）问题发现
当时，______；直线与直线相交所成的较小夹角的度数为______．
（2）类比探究
当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用．
若，直线和直线交于点，在旋转的过程中，当点与点重合时，请直接写出线段的长．

7 . （1）如图①，在四边形中，，点在边上，，求证：
（2）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证：
（3）拓展：如图③，在中，点是边的中点，点分别在边上，若，求的长

8 . 如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
　
（1）问题发现
①当时，____________；②当时，___________．
（2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，直接写出线段的长．

9 . 某数学活动小组在研究三角形的拓展图形及其性质时，经历了如下过程．
操作发现：
（1）①如图1，B为线段上一点，分别以，为边作正方形，正方形，点P为上一点，且，连接，，那么与有什么关系？直接写出答案．
②如图2，B为线段上一点，分别以，为斜边作等腰直角三角形与等腰直角三角形，点P为的中点，连接，，那么与有什么数量关系？请给予证明．

数学思考：
（2）如图3，B为线段上一点，分别以，为斜边作直角三角形，直角三角形，且，点P为的中点，连接，，那么与有什么数量关系？
请给予证明

拓展探究：
（3）如图4，B为线段外一点，连接，分别，为斜边作直角三角形，直角三角形，且，点P为的中点，连接，，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

10 . 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．
（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是　 　；
（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．