1 . 综合与实践
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形
，
为对角线
上一动点，过点
作垂直于的射线
，点
在射线上，且
，连接
．通过观察图形，直接写出
与
的数量关系： ．
(2)【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，
，
，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段
与
的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】
在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形
为轴对称图形时，请直接写出线段的长： ．
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形
，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ．(2)【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形
，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】
在（2）的条件下，点
在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长： ．
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2 . 问题提出
如图1，点
是等腰
底边
上一点， 点， 
在
同侧，且
，
，取
的中点， 连接并延长
，
交于点 
，探究与
的数量关系．
（1） 先将问题特殊化， 如图
，当
时，直接写出与的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图1，证明（1）中的结论是否仍然成立．
问题拓展：
（3）如图
， 不是等腰三角形， 点
是
边上的点， 连接
， 
， 已知
于，
， 且 
，直接写出 
的值．
如图1，点
是等腰底边上一点， 点， 在同侧，且，，取的中点， 连接并延长，交于点 ，探究与的数量关系．
（1） 先将问题特殊化， 如图
，当时，直接写出与的数量关系；（2）再探究一般情形．如图1，证明（1）中的结论是否仍然成立．
问题拓展：
（3）如图
， 不是等腰三角形， 点是边上的点， 连接， ， 已知于，， 且 ，直接写出 的值．
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3 . 综合与实践
问题背景：
小明在研究直角三角板时，发现含有
的直角三角板具有一些特殊性质，于是他做出了如下探究．
初步发现：
如图①，在
中，
，
，作
的垂直平分线
交
于点D，交于点E，连接
，则
______
，线段，
，
的数量关系是________________；
事实上，在含的直角三角形中，两个锐角恰好是2倍关系，而对于任意一个三角形，若有两个角存在2倍关系，这样的三角形还能具有上面发现的结论吗？带着这个疑问，小明又研究了下面一个三角形，请结合小明的发现，一起探究一下吧．
如图②，在
中，
，
，
，作
交于点D．
；
（2）求的面积；
拓展应用：
像这样的三角形，我们不妨称之为“倍半角三角形”．如图③，在菱形中，
，
，是对角线，点E，F分别在
，上，且
．
，
，用含x的代数式表示y；
问题背景：
小明在研究直角三角板时，发现含有
的直角三角板具有一些特殊性质，于是他做出了如下探究．初步发现：
如图①，在
中，，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则______，线段，，的数量关系是________________；
事实上，在含
的直角三角形中，两个锐角恰好是2倍关系，而对于任意一个三角形，若有两个角存在2倍关系，这样的三角形还能具有上面发现的结论吗？带着这个疑问，小明又研究了下面一个三角形，请结合小明的发现，一起探究一下吧．如图②，在
中，，，，作交于点D．
；（2）求
的面积；拓展应用：
像这样的三角形，我们不妨称之为“倍半角三角形”．如图③，在菱形
中，，，是对角线，点E，F分别在，上，且．
，，用含x的代数式表示y；
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4 . 综合与实践：
【课堂探究】在一堂主题为“几何翻折问题的拓展与深化”的数学公开课上，王老师给同学们每个人下发了一张平行四边形纸片，并且给出了一些数据（如图1），并提出，其中平行四边形两边所成的锐角的正切值为
．
（1）为了课堂的顺利进行，王老师先让同学们求出了
_____°；
【实践操作】数学课开始后，王老师让同学们在小组内先动手实践操作，对平行四边形进行翻折探究翻折后图形的性质．在同学们动手实践的过程中，王老师随机挑选了一个小组的操作成果（如图2）并进行展示，接着将其抽象为了一个数学问题．
（2）如图2，在（1）的条件下，点
在上运动，点
在
上运动，点
为
沿着翻折后点
的对应点．求证：当M是中点时，点落在边的中线上；
【思考讨论】同学们经过思考后，纷纷给出了自己对于这个问题的看法．王老师非常高兴，继续将问题进行了深入．
（3）如图3，连接
，
，
，延长至，连接
，
．若
，
，求证：
平分
；
【学以致用】同学们经过本课的学习，对图形再次进行深入挖掘，在原来的基础上设问：
（4）在（3）的条件下，请直接写出
的正切值．
【课堂探究】在一堂主题为“几何翻折问题的拓展与深化”的数学公开课上，王老师给同学们每个人下发了一张平行四边形纸片，并且给出了一些数据（如图1），并提出，其中平行四边形两边所成的锐角的正切值为
．
（1）为了课堂的顺利进行，王老师先让同学们求出了
_____°；【实践操作】数学课开始后，王老师让同学们在小组内先动手实践操作，对平行四边形进行翻折探究翻折后图形的性质．在同学们动手实践的过程中，王老师随机挑选了一个小组的操作成果（如图2）并进行展示，接着将其抽象为了一个数学问题．
（2）如图2，在（1）的条件下，点
在上运动，点在上运动，点为沿着翻折后点的对应点．求证：当M是中点时，点落在边的中线上；【思考讨论】同学们经过思考后，纷纷给出了自己对于这个问题的看法．王老师非常高兴，继续将问题进行了深入．
（3）如图3，连接
，，，延长至，连接，．若，，求证：平分；【学以致用】同学们经过本课的学习，对图形再次进行深入挖掘，在原来的基础上设问：
（4）在（3）的条件下，请直接写出
的正切值．
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5 . 【提出问题】
如图1，在中，
，
，求的最小值．
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设
，表示出或者
，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长
到点，使得
，则
，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，
，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点
从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接
，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ．
【拓展提升】
如图3，
，
，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接
，点
是线段上一点，且
，连接
，在、运动过程中，求线段的最小值．
如图1，在
中，，，求的最小值．
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设
，表示出或者，利用函数知识小红：从几何角度看，延长
到点，使得，则，连接【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，
，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ．【拓展提升】
如图3，
，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值．
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6 . （1）问题发现
如图1，在等边三角形
中，
是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等边三角形
，连接．填空：
①
的值为________；
②
的度数为________．
（2）类比探究
如图2，在等腰直角三角形中，
，
，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等腰直角三角形，
，连接．请判断的值与的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在正方形和正方形
中，
，点E在对角线上，请直接写出
面积的最大值及此时线段的长度．
如图1，在等边三角形
中，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等边三角形，连接．填空：①
的值为________；②
的度数为________．（2）类比探究
如图2，在等腰直角三角形
中，，，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等腰直角三角形，，连接．请判断的值与的度数，并说明理由；（3）拓展延伸
如图3，在正方形
和正方形中，，点E在对角线上，请直接写出面积的最大值及此时线段的长度．
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7 . 综合与实践
问题情境：在矩形中，E为边上一点，且
，过点D作
于点P，交于点M，将
沿
折叠，点A的对应点N恰好落在边上．
如图1，若
，
与
的数量关系是 ，
的值是 ；
（2）类比探究
若
，写出与的数量关系及的值，并就图2的情形说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的条件下，将
绕点D在平面内自由旋转，得到
，当的一条直角边与平行时，连接
，请直接写出
的面积．
问题情境：在矩形
中，E为边上一点，且，过点D作于点P，交于点M，将沿折叠，点A的对应点N恰好落在边上．
如图1，若
，与的数量关系是 ，的值是 ；（2）类比探究
若
，写出与的数量关系及的值，并就图2的情形说明理由；（3）拓展应用
在（2）的条件下，将
绕点D在平面内自由旋转，得到，当的一条直角边与平行时，连接，请直接写出的面积．
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2024九年级下·全国·专题练习
8 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且
．动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段
上运动，连接，当
时停止运动，过点作
，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为
，线段与矩形的边围成的三角形的面积为
．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为
，与
轴的交点的坐标为
，与轴的交点为点．
（1）当点与点重合时，点与点重合，求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程
，
，
，当
时，3个路程对应的面积均相等．
如图1，在矩形
中，点在上，且．动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．【初步感知】
如图2，动点
由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．（1）当点
与点重合时，点与点重合，求矩形的边和的长；【深入探究】
（2）点
由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程
，，，当时，3个路程对应的面积均相等．
您最近一年使用：0次
9 . 综合探究
如图，在中，，在上取一点
，以点为圆心，
长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为
的中点．
【问题初探】求证：为
的切线；
【深入探究】连接，求证：
；
【问题拓展】若
，
，求，的长．
如图，在
中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为的中点．【问题初探】求证：
为的切线；【深入探究】连接
，求证：；【问题拓展】若
，，求，的长．
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10 . 综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿
解析到
的位置；
第3步：延长
交于点
，则点为边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕
．
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是_______；②处的方程是_______；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）①如图3，将矩形纸片对折，使点A和点重合，展开铺平，折痕为，将
沿翻折得到
，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出
的值．
②在边长为3的正方形中，点是射线
上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点．若
，请直接写出的长．
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片
对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；第2步：将
边沿解析到的位置；第3步：延长
交于点，则点为边的三等分点．证明过程如下：连接 ， 正方形沿折叠， ，又  （①）， ．设（个单位）， ， 是的中点，则 ，在 中，可列方程：②________，解得：  ，即是边的三等分点． |
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点
重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：再将正方形纸片对折，使点
与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；第3步：过点
折叠正方形纸片，使折痕．
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是_______；②处的方程是_______；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点
是否为边的三等分点，并证明你的结论；【拓展提升】
（3）①如图3，将矩形纸片
对折，使点A和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值．②在边长为3的正方形
中，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点．若，请直接写出的长．
您最近一年使用：0次
